Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

8,3
20
76
20
75545332
==
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
В
x
.
Пример
4. Вычислить выборочную среднюю для вариационного ряда из примера 2.
Здесь объём выборки
100
1
==
∑
m
i
nn
. Вычисляем среднюю выборочную по формуле (6.3.3), взяв в качестве вариант
i
x
середины интервалов.
.22,25100/)395,30845,29995,27
2145,262595,241845,23995,21745,20(
=⋅+⋅+⋅+
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
В
x
Рассмотренные нами средние величины не отражают изменчивости (вариации) значений признака. Простейшим, но
весьма приближённым показателем вариации является
вариационный размах
R
, равный разности между наибольшим и наи-
меньшим вариантами ряда
minmax
xxR −=
. Наибольший интерес представляют меры вариации (рассеяния) наблюдаемых
значений количественного признака выборки вокруг средней выборочной.
Определение
2
.
Выборочной дисперсией
В
D
называется среднее арифметической квадратов отклонения компонент вы-
борки от выборочной средней:
n
XX
D
n
i
В
i
В
∑
=
−
=
1
2
)(
. (6.3.4)
Определённая формулой (6.3.4) выборочная дисперсия является случайной величиной. После проведения испытаний,
когда имеется конкретная реализация выборки, выборочная дисперсия, называемая также дисперсией вариационного ряда,
становится неслучайной величиной, и может быть вычислена для несгруппированного вариационного ряда по формуле
n
xx
D
n
i
В
i
В
∑
=
−
=
1
2
)(
. (6.3.5)
Если же значения признака
x
1
,
x
2
, .
..
,
x
k
имеют соответственно частоты
n
1
,
n
2
, .
..
,
n
k
, причём
n =
∑
i
n
, то
n
xxn
D
k
i
ii
В
В
∑
=
−
=
1
2
)(
. (6.3.6)
Отметим, что формула (6.3.5) является частным случаем формулы (6.3.6), если положить все
1=
i
n
. Приведём основные
свойства выборочной дисперсии, аналогичные свойствам дисперсии случайной величины. Указанные свойства будут также
иметь место, если вместо вариант
i
x
рассматривать случайные величины
i
X
.
1. Дисперсия постоянной равна нулю.
2. Если все варианты умножить на одно и то же число
С
, то выборочная дисперсия должна быть умножена на
2
С
:
)()(
2
xDCCxD
ВВ
=
или
n
nxx
C
n
nCxCx
m
i
ii
m
i
ii
ВВ
∑∑
==
−
=
−
1
2
2
1
2
)()(
.
3. Если ко всем вариантам прибавить одно и то же число
С
, то выборочная дисперсия не измениться:
)()( xDxCD
ВВ
=+
или
n
nxx
n
nxCxC
m
i
ii
m
i
ii
ВВ
∑∑
==
−
=
+−+
1
2
1
2
)()(
.
4. Выборочная дисперсия равна разности между средней квадратов вариантов и квадратом средней выборочной:
2
1
2
2
2
)(
BB
B
В
x
n
nx
xxD
m
i
ii
−=−=
∑
=
. (6.3.7)
>
=+−=
−
=
∑∑∑∑
====
n
n
x
n
nx
x
n
nx
n
nxx
D
m
i
i
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii
ВВ
В
В
1
2
11
2
1
2
2
)(
<.)(2
22
2
2
В
B
ВВВ
B
xx
n
n
xxxx −=+⋅−=

Страницы