Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ошибку уменьшится. Несмещённая оценка
*
n
θ
называется
эффективной
, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех
возможных несмещённых оценок параметра
θ
, вычисленных по выборкам одного и того же объёма
n
. Иногда в целях упро-
щения расчётов используют оценки, не обладающие высокой эффективностью. Так, например, в случае нормального рас-
пределения признака генеральную среднюю
)(
0
XMx =
часто оценивают медианой выборки
В
Me
, хотя её эффективной
оценкой является выборочная средняя
В
x
.
При рассмотрении выборок большого объёма к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.
Оценка
*
n
θ
называется
состоятельной
, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцени-
ваемому параметру:
1)|(|lim
*
=ε<θ−θ
∞→
n
n
P
для любого ε
>
0. В случае использования состоятельных оценок оправдывается
увеличение объёма выборки, так как при достаточно большом
n
значительные ошибки при оценивании становятся малове-
роятными.
В качестве статистических оценок параметров генеральной совокупности
желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям
несмещённости, состоятельности и эффективности. Однако иногда для простоты
расчётов целесообразно применять оценки, обладающие большей дисперсией по
сравнению с эффективными оценками, или незначительно смещённые оценки и
т.п.
Теорема 1
. Выборочная средняя
В
X
есть несмещённая и состоятельная оценка генеральной средней
)(
0
XMx
=
.
>
Докажем сначала несмещённость оценки. Найдём математическое ожидание
В
X
:
0
11
)(
)(
)(
)( xXM
n
XnM
n
XM
n
X
MXM
n
i
i
n
i
i
В
====
=
∑∑
==
.
Найдём дисперсию выборочной средней, учитывая, что
n
XXX ,,,
21
K
– независимые случайные величины:
n
XD
n
XnD
n
XD
n
X
DXD
n
i
i
n
i
i
В
)()(
)(
)(
22
11
===
=
∑∑
==
. (6.4.1)
Из неравенства Чебышёва следует, что
( )
;
)(
1||
2
0
ε
−≥ε<−
В
В
XD
xXP
в силу доказанного выше равенства запишем неравен-
ство Чебышёва в виде
( )
2
0
)(
1||
ε
−≥ε<−
n
XD
xXP
В
. Следовательно, получаем, что для любого
0
>
ε
выполнено
(
)
1||lim
0
=ε<−
∞→
xXP
В
n
.
<
Теорема 2
. Выборочная дисперсия
В
D
является смещённой и состоятельной оценкой генеральной дисперсии
2
)( σ=XD
.
>
Докажем смещённость оценки. Согласно (6.3.7)
2
2
B
BВ
XXD
−=
. На основании свойства 3 средней арифметической и
дисперсии, если из всех значений признака вычесть одно и то же число
С
, то средняя уменьшится на это число, а дисперсия на
изменится, т.е.
2222
)()()()()()( CXCXCXCXCXDXDD
В
B
ВВВ
−−−=−−−=−==
.
Полагая константу
С
равной генеральной средней
0
xC
=
, получим
2
0
2
0
)()( xXxXD
ВВ
−−−=
.
Найдём математическое ожидание выборочной дисперсии:
.)(
)(
)(
2
0
1
2
0
xXM
n
xX
MDM
В
n
i
i
В
−−
−
=
∑
=
Рассмотрим первое слагаемое в правой части:

Страницы