Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

что
)(
1
XM=ν
, а
В
x=ν
1
~
, получим уравнение
В
xX
М
=)(
. При заданной функции распределения математическое ожида-
ние может быть представлено как функция от неизвестного параметра
)()(
θ
ϕ
=
X
М
, поэтому приходим к уравнению для
нахождения параметра
θ
:
В
x=θϕ )(
.
Пример
6
. Найти методом моментов оценку параметра
λ
показательного распределения.
Приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка:
В
xX
М
=)(
.
Учтём, что для показательного распределения математическое ожидание
λ
=
1
)(X
М
. Следовательно, искомая оценка
параметра
λ
равна величине, обратной выборочной средней:
В
x
1
*
=λ
.
Если вид функции распределения определяется двумя неизвестными параметрами, т.е. имеет вид
),,(
21
θθxF
, то для их
оценки необходимы два уравнения. Согласно методу моментов, приравняем, например, начальный теоретический момент
первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго поряд-
ка центральному эмпирическому моменту второго порядка:
11
~
ν=ν
и
22
~
µ=µ
. Учитывая, что
)(),(
21
XDXM =µ=ν
, а
В
В
Dx =µ=ν
~
,
~
1
, получим систему уравнений
=
=
.)(
;)(
В
В
DXD
xX
М
Математическое ожидание и дисперсия являются функциями от неизвестных параметров
1
θ
и
2
θ
, поэтому указанную сис-
тему уравнений можно рассматривать как систему двух уравнений с двумя неизвестными
1
θ
и
2
θ
. Решив эту систему, най-
дём оценки неизвестных параметров
*
1
θ
и
*
2
θ
.
Пример
7
. Найти методом моментов оценку параметров
a
и
b
равномерного распределения
b
а
U
,
.
Согласно методу моментов имеем систему уравнений
=
=
.)(
;)(
В
В
DXD
xX
М
Учтём, что для равномерного распределения
2
)(
ba
XM
+
=
и
12
)(
)(
2
ab
XD
−
=
. Следовательно, для нахождения оценок
неизвестных параметров нужно решить систему уравнений
=−
=+
.12/)(
;2/)(
2
В
В
Dab
xba
.
Решив эту систему, получим искомые оценки
3
*
sxa
В
−=
,
3
*
sxb
В
+=
,
где
В
Ds =
.
6.5. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ
Точечной
называют оценку параметра
θ
генеральной совокупности, которая определяется одним числом. Оценки, рас-
смотренные выше – точечные. Однако точечная оценка
*
n
θ
является лишь приближённым значением неизвестного парамет-
ра
θ
,
и при выборке малого объёма точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра.
Чтобы получить представление о точности и надёжности оценки
*
n
θ
параметра
θ
пользуются интервальными оценками.
Интервальной оценкой
параметра
θ
называют числовой интервал
(
)
)2*()1*(
,
nn
θθ
(рис. 6.5.1), для которого выполнено
(
)
γ=θ<θ<θ
)2*()1*(
nn
P
. (6.5.1)
Границы доверительного интервала и его длина находятся по выборочным данным, и являются случайными величинами,
поэтому формулу (6.5.1) читают как «интервал
(
)
)2*()1*(
,
nn
θθ
, который с заданной вероятностью
γ накрывает неизвестное зна-
чение параметра
θ
», а не «параметр
θ
лежит в интервале…». Такой интервал называется
доверительным
, а вероятность γ
называется
доверительной вероятностью
, или надёжностью оценки.
θ
n
*(2)
θ
n
*(
1)

Страницы