Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

можно по таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне вероятности α
=
1 – γ
и числе степеней свободы
n –
1
получить значение числа
γ
t
=
T
(1 – γ;
n –
1). Подставив в неравенство (6.5.4) значение статистики
T
из (6.5.3), и заменив
случайные величины
В
X
и
S
неслучайными величинами
В
x
и
s
, найденными по выборке, получим
(
)
γ=+<<−
γγ
nstxanstxP
BB
//
**
.
Следовательно, при неизвестном
σ
точность оценки δ находится по формуле
n
st
*
γ
=δ
. (6.5.5)
Заметим, что при большом числе наблюдений (
n
> 30) точности оценок, найденные по формулам (6.5.2) и (6.5.5) разли-
чаются несущественно, поэтому для нахождения δ можно пользоваться формулой (6.5.2), заменив в ней точное значение
среднеквадратического отклонения σ на исправленное выборочное значение среднеквадратического отклонения
s*
. В случае
же, когда объём выборки незначителен, предлагается для нахождения доверительного интервала для параметра
a
пользо-
ваться следующим алгоритмом:
• определяем число
γ
t
по таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне вероятности α
=
1 – γ
и
числе степеней свободы
n –
1;
• находим точность оценки δ по формуле (6.5.5);
• строим доверительный интервал для параметра
a
:
);( δ+δ−
BB
xx
.
Без доказательства приведём один из способов построения доверительного интервала для среднеквадратического от-
клонения σ
нормального распределения. Отметим, что в данном случае доверительный интервал не является симметричным
относительно точечной оценки
s*
указанного параметра.
• Находим числа
2
1
χ
и
2
2
χ
по таблице критических точек распределения χ
2
при числе степеней свободы
n –
1 и уров-
нях вероятности (1 + γ)/2
и
(1 – γ)/2 соответственно.
• Строим доверительный интервал
χ
−
χ
−
∈σ
1
*
2
*
1
;
1 nsns
. (6.5.6)
Пример
8
. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднеквадратического отклонения с на-
дёжностью 95 % по данным выборки из примера 2. Предполагается, что признак
Х
(размер деталей) в генеральной совокуп-
ности имеет нормальное распределение.
Построим доверительный интервал для генеральной средней с уровнем доверительной вероятности γ = 0,95. Значение
генеральной дисперсии неизвестно, но объём выборки (
n
= 100) велик, поэтому для нахождения точности оценки можно
воспользоваться формулой (6.5.2). Сначала из таблицы функции Лапласа найдём значение
t
из условия Φ(
t
)
=
γ/2 = 0,475.
Получим
t
= 1,96. Точечная оценка среднеквадратического отклонения
s
была найдена при решении примера 5:
s
= 2,56. На-
помним, что несмещённой оценкой параметра σ является исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение
57,256,2
99
100
1
*
=⋅=
−
= s
n
n
s
.
Далее находим точность оценки δ, заменив в формуле (6.5.2) генеральное среднеквадратическое отклонение его точеч-
ной оценкой
*
s
: 50,0
100
57,296,1
*
=
⋅
==δ
n
ts
. Доверительный интервал для генеральной средней ax =
0
имеет вид
);( δ+δ−
BB
xx . Подставляя значения и учитывая, что выборочная средняя, найденная при решении примера 4, 22,25=
В
x ,
получим:
)50,022,25;50,022,25(
+
−
∈
a
или
72,2572,24
<
<
a
.
Напомним
,
что
вероятность
выполнения
этого
неравенства
равна
0,95.
Построим
доверительный
интервал
для
генерального
среднеквадратического
отклонения
с
заданным
уровнем
довери
-
тельной
вероятности
γ
= 0,95.
Найдём
значение
2
1
χ
по
таблице
критических
точек
распределения
χ
2
при
уровне
вероятности
(1
+
γ
)/2 = 0,975
и
числе
степеней
свободы
k = n –
1 = 99.
Получаем
2
1
χ
=
73,36,
следовательно
,
1
χ
= = 8,57
.
Найдём
значение
2
2
χ
по
таблице
критических
точек
распределения
χ
2
при
уровне
вероятности
(1 –
γ
)/2 = 0,025
и
числе
степеней
свободы
k = n
– 1 = 99.
Получаем
2
2
χ
=
128,42,
следовательно
,
2
χ
= 11,33
.
Согласно
(6.5.6),
доверительный
интервал
для
генерального
среднеквадратического
отклонения
σ
имеет
вид
:
χ
−
χ
−
∈σ
12
1
;
1 nsns
.
Подставляя
значения
,
получаем
,
что
с
вероятно
-
стью
0,95
выполнено
σ
∈
57,8
9957,2
;
33,11
9957,2
или
σ
)98,2;26,2(
∈
.
6.6.
ПРОВЕРКА
СТАТИСТИЧЕСКИХ
ГИПОТЕЗ

Страницы