Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

б
)
в
)
Рис. 6.6.1
Следует иметь в виду, что принцип проверки статистических гипотез не даёт математического доказательства её истин-
ности. Принятие гипотезы
H
0
лишь означает, что она не противоречит имеющимся опытным данным. При увеличении объё-
ма выборки или при изменении уровня значимости критерия та же самая гипотеза
H
0
может быть отвергнута. Рассмотрим
способы проверки некоторых наиболее часто встречающихся гипотез.
6.6.2. Гипотеза о равенстве генеральной средней нормальной
совокупности заданному числовому значению
Пусть количественный признак генеральной совокупности
Х
распределён нормально, причём имеются основания пред-
полагать, что генеральная средняя этой совокупности
0
x
равна некоторому значению
а
(например, если
Х
– размер деталей,
изготовляемых станком-автоматом, то
а –
заданный проектный размер). Предполагаем, что дисперсия генеральной совокуп-
ности
D =
σ
2
известна (например, может быть найдена теоретически, или вычислена по выборке большого объёма). Кроме
того, по произведённой выборке объёма
n
найдена выборочная средняя
В
x
. Требуется по выборочной средней при заданном
уровне значимости α
проверить нулевую гипотезу
Н
0
:
0
x
= а
.
Предположим, что гипотеза
Н
0
верна, т.е.
Х
имеет распределение
σ,a
N . Тогда все компоненты выборки
),,(
1
n
XX
K
также имеют распределение
σ,
a
N . Выше мы показали, что в этом случае выборочная средняя
В
X также имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием
а
и дисперсией
n
2
σ
, т.е. распределена по закону
na
N
/,
σ
. В качестве статисти-
ки (критерия проверки нулевой гипотезы) принимают случайную величину
(
)
σ
−
=
naX
U
В
, (6.6
.
1)
которая имеет стандартное нормальное распределение
1,0
N
, так как
)(UM
(
)
(
)
0=
σ
−
=
naXM
В
,
а
(
)
( ) ( )
1)(
2
222
=
σ
σ
=
σ
=−
σ
=
σ
−
=
n
n
XD
n
aXD
nnaX
DUD
ВВ
В
.
Таким
образом
,
наблюдаемое
значение
критерия
находим
по
правилу
σ
−
=
nax
U
В
)(
набл
. (6.6.2)
Рассмотрим три различных случая конкурирующих гипотез.
1.
При
конкурирующей
гипотезе
Н
1
:
0
x
а
критическая
область
является
двусторонней
.
Так
как
плотность
распределе
-
ния
стандартной
нормальной
случайной
величины
U
является
чётной
функцией
,
то
правая
и
левая
критические
точки
распо
-
ложены
симметрично
относительно
нуля
.
Обозначим
их
U
кр
и
–
U
кр
.
Тогда
вероятности
попадания
в
левую
и
правую
части
критической
области
одинаковы
и
равны
α
/2,
а
вероятность
выполнения
неравенства
кр
|| UU <
равна
1 –
α
(
рис
. 6.6.1).
С
другой
стороны
имеем
:
)(2)|(|
кркр
UUUP Φ=<
.
Следовательно
,
выполнено
α−=Φ 1)(2
кр
U
,
откуда
получаем
,
что
критиче
-
ская
точка
U
кр
может
быть
найдена
по
таблице
функции
Лапласа
из
условия
Φ
(
U
кр
) = (1 –
α
)/2
.
(6.6.3)
Если
для
найденного
по
формуле
(6.7.2)
наблюдаемого
значения
критерия
выполнено
|U
набл
|< U
кр
,
то
нет
оснований
отверг
-
нуть
нулевую
гипотезу
.
В
противном
случае
нулевую
гипотезу
отвергают
.
2.
В
некоторых
практических
ситуациях
имеет
смысл
принять
в
качестве
конкурирующей
гипотезу
Н
1
:
0
x
>а
.
Например
,
если
проверяют
гипотезу
о
равенстве
вредных
примесей
в
продукте
нормативу
.
Тогда
критическую
точку
U
кр
правосторон
-
ней
критической
области
находим
по
таблице
функции
Лапласа
из
условия
Φ
(
U
кр
)
=
(1 – 2
α
)/2
.
Если
U
набл
< U
кр
,
то
нет
оснований
отвергнуть
нулевую
гипотезу
.
В
противном
случае
нулевую
гипотезу
отвергают
.
0
K
кр
K
кр2
K
кр1

Страницы