Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

6.6.1. Основные понятия
С теорией статистической оценки параметров тесно связана проверка статистических гипотез. Она используется в случаях, когда нужно сделать обос-
нованный вывод о преимуществах того или иного способа производства, той или иной технологии, об адекватности математической модели и т.п. Сле-
дует учитывать, что выводы, сделанные с помощью теории вероятностей и математической статистики, не являются окончательными. Математическая
статистика позволяет ответить на заданный вопрос только с определённой долей уверенности. Например, на основании обработки статистических дан-
ных можно сделать вывод: «с вероятностью 95 % можно утверждать, что срок службы производимых приборов не меньше нормативного».
Статистической гипотезой
называется любое предположение о виде неизвестного распределения или о параметрах за-
кона распределения. Например, статистическими являются гипотезы:
•
генеральная совокупность распределена по нормальному закону;
• дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой;
• математическое ожидание признака
Х
нормально распределенной генеральной совокупности равно 25,5.
Различают простую и сложную статистические гипотезы.
Простая
гипотеза полностью определяет теоретическую
функцию распределения случайной величины, а сложная гипотеза говорит о принадлежности функции распределения к не-
которому классу. Проверяемую гипотезу обычно называют основной (нулевой) и обозначают
Н
0
. Наряду с выдвинутой ги-
потезой рассматривают и альтернативную гипотезу
Н
1
,
противоречащую основной. Как правило, но не всегда, она является
логическим отрицанием основной.
Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину (статистику)
),,(
1 n
XX Kθ
.
В зависимости от вида распределения её обозначают через
U
(если она распределена по нормальному закону) ,
T
(если она
распределена по закону Стьюдента),
F
(если она распределена по закону Фишера-Снедекора) и т.д. После проведения экспе-
римента может быть получено наблюдаемое значение статистики, т.е.
),,(
1набл n
xx Kθ=θ
. Затем, используя знания о распре-
делении случайной величины
θ
, множество всех её возможных значений разбивают на два подмножества: одно из них со-
держит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается (
критическая область W
), а другое (W ) содержит те
значения критерия, при которых гипотеза принимается (
область принятия гипотезы
).
Правило
,
по которому гипотеза Н
0
принимается или отвергается
,
называется статистическим критерием
. Иногда критерием называют также статистику
),,(
1 n
XX
Kθ
.
Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение стати-
стики критерия
набл
θ
принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают в пользу конкурирующей гипоте-
зы; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нулевую гипотезу принимают. При
этом возможны 4 случая:
Гипотеза
Н
0
Принимается Отвергается
Верна Правильное решение Ошибка 1-го рода
Не верна Ошибка 2-го рода Правильное решение
Вероятность α допустить ошибку 1-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу
Н
0
, когда она верна, называется
уровнем значимо-
сти критерия.
)|),,((
01
HWXXP
n
∈θ=α K
.
Вероятность допустить ошибку 2-го рода, т.е. принять гипотезу
Н
0
, когда она неверна, обозначают β
)|),,((
11
HWXXP
n
∈θ=β K
.
Вероятность 1 – β
не допустить ошибку 2-го рода называется
мощностью критерия
. Используя терминологию статисти-
ческого контроля качества продукции, можно сказать, что вероятность α является «риском поставщика», когда по результа-
там выборочного контроля изделий партии бракуется удовлетворяющая стандарту партия. В этом примере вероятность β –
«риск потребителя», когда в результате анализа выборки признается годной партия изделий, не удовлетворяющая стандар-
ту.
Вероятности ошибок 1-го и 2-го рода определяются выбором критической области. При фиксированном объёме выбор-
ки уменьшение ошибки 1-го рода α неизбежно приводит к увеличению ошибки 2-го рода β, и наоборот. Лишь при увеличе-
нии объёма выборки возможно одновременное уменьшение вероятностей α и β
.
Поскольку статистика критерия
θ
– одномерная случайная величина, все её возможные значения принадлежат некото-
рому интервалу, поэтому критическую область и область принятия гипотезы можно разделить точками.
Критическими точ-
ками K
кр
называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Различают одностороннюю (правостороннюю и левостороннюю) и двустороннюю критические области.
Правосторонней
называют критическую область, определяемую неравенством
θ
> K
кр
(рис. 6.6.1,
а
). При этом
P
(
θ
>
K
кр
) = α
.
Левосторонней
называют критическую область, определяемую неравенством
θ
< K
кр
(рис. 6.6.1,
б
). При этом
P
(
θ
<
K
кр
) = α
.
Двусторонней
называют критическую область, определяемую неравенствами
θ
< K
кр1
и
θ
K
кр2
(рис. 6.6.1,
в
). При этом
P
(
θ
> K
кр2
) = =
P
(
θ
< K
кр1
)
=
α/2
.
а
)
0
K
кр

Страницы