Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 6.5.1
Следует иметь в виду, что доверительный интервал при заданной надёжности γ можно выбрать различным способами.
Пусть по данным выборки найдена точечная оценка
*
n
θ
параметра
θ
. Очень часто (но не всегда) доверительный интервал
выбирают симметричным относительно параметра
*
n
θ
, т.е.
);(
**
δ+θδ−θ
nn
. Число
δ
, т.е. максимальное отклонение оценки от
оцениваемого параметра, которое возможно с заданной доверительной вероятностью γ, называется
точностью оценки
. Величи-
на доверительного интервала увеличивается с ростом доверительной вероятности γ, т.е. чем больше уверенности в том, что па-
раметр лежит в указанном интервале, тем шире интервал. Обычно надёжность оценки задают заранее, причём в качестве γ бе-
рут число, близкое к единице, например 0,95 или 0,99 и т.д. Вероятностный смысл этого параметра –
γ=δ<θ−θ )|(|
*
n
P
, т.е.
вероятность того, что оценка отклонится от истинного значения параметра не больше, чем на
δ
, равна
γ
.
Пусть количественный признак генеральной совокупности
X
имеет нормальное распределение
σ,a
N , а оцениваемым
параметром
θ
является генеральная средняя
0
x . Доверительный интервал будем искать в виде
);( δ+δ−
BB
xx
. Следова-
тельно, нужно указать способ, как, зная объём выборки
n
и надёжность оценки
γ
, найти точность оценки
δ
.
Рассмотрим случай, когда генеральная дисперсия
D =
σ
2
является известной величиной (например, это заданная заранее
ошибка измерительного прибора). По выборке объёма
n
находим значение случайной величины
nXX
n
i
i
В
/
1
=
∑
=
. Так как
все случайные величины
i
Х
имеют нормальное распределение
σ,a
N
, то
В
X
также имеет нормальное распределение, при-
чём при доказательстве теоремы 1 было получено, что
(
)
а
xXM
В
==
0
, а
( )
n
n
XD
XD
В
2
)( σ
==
, т.е.
В
X
имеет распределе-
ние
n
a
N
σ
,
. Тогда, согласно (5.6.13),
(
)
=δ<− || aXP
В
σ
δ
Φ
n/
2
. Учитывая, что указанная вероятность задана и равна на-
дёжности оценки
γ
, получим условие для определения числа
δ
:
σ
δ
Φ=γ
n/
2
.
Приведём рабочие формулы, по которым может быть найден доверительный интервал для параметра
a
:
• определяем число
t
из равенства Φ(
t
)
=
γ/2, т.е. по таблице функции Лапласа находят значение аргумента
t
, которому
соответствует значение функции Лапласа γ/2;
• находим точность оценки δ по формуле
n
t
σ
=δ
; (6.5.2)
• строим доверительный интервал для параметра
a
:
);( δ+δ−
BB
xx
.
Из формулы (6.5.2) можно сделать следующие выводы:
• при возрастании объёма выборки
n
число δ, а также и длина доверительного интервала, убывает, следовательно,
точность оценки увеличивается;
• при увеличении надёжности γ увеличивается число
t
(напомним, что функция Лапласа является возрастающей), сле-
довательно, число δ также увеличивается; т.е. увеличение надёжности оценки приводит к уменьшению её точности.
На практике обычно встречается случай, когда генеральная дисперсия неизвестна, а известна лишь её исправленная вы-
борочная оценка
D
B
*
= S
*2
. Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину (статистику)
nS
aX
T
В
/
*
−
=
. (6.5.3)
Представим эту статистику в виде
( )
1
1)1(
/
2
2*
−
σ
−
σ
−
=
n
Sn
n
aX
T
В
.
Можно доказать, что случайная величина
n
aXZ
В
σ
−= /)(
имеет стандартное нормальное распределение
1,0
N
, а случайная
величина
2
2*
)1(
σ
−
=
Sn
H
–
2
χ
распределение с
1
−
=
nk
степенями свободы, причём эти случайные величины являются неза-
висимыми. Тогда, согласно (5.6.2), случайная величина
T
, определяемая (6.5.3), имеет распределение Стьюдента с
1
−
=
nk
степенями свободы. Задав число γ – вероятность выполнения неравенства
γ=<
γ
)|(|
tTP
, (6.
5
.4)

Страницы