Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)(
)(
)()()(
11
2
0
1
2
0
XD
n
XnD
n
XD
n
xXM
n
xX
M
n
i
i
n
i
i
n
i
i
===
−
=
−
∑∑∑
===
.
Второе слагаемое в правой части, учитывая (6.3.10),
( ) ( )
n
XD
XDxXM
ВВ
)(
2
0
==−
.
Поэтому
).(
1)(
)()( XD
n
n
n
XD
XDDM
В
−
=−=
Состоятельность оценки примем без доказательства.
<
Так как
1
1
<
−
n
n
, то
)()( XDDM
В
<
и выборочная дисперсия в среднем, при большом числе выборок, занижает гене-
ральную дисперсию. Поэтому, заменяя
)(XD
на
В
D
,
мы
допускаем
систематическую
погрешность
.
Чтобы
её
ликвидиро
-
вать
,
достаточно
ввести
поправку
.
Сделав
это
,
получим
исправленную выборочную дисперсию
BВ
D
n
n
sD
1
2
**
−
==
(6.4.2)
и
исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение
B
D
n
n
s
1
*
−
=
. (6.4.2)
Очевидно
,
что
)()(
1
1
)(
11
)(
*
XDXD
n
n
n
n
DM
n
n
D
n
n
MDM
ВВВ
=
−
−
=
−
=
−
=
,
т
.
е
.
исправленная
выборочная
дисперсия
является
несме
-
щённой
и
состоятельной
оценкой
генеральной
дисперсии
.
Разница
между
В
D
и
*
В
D
заметна
при
небольшом
числе
наблюде
-
ний
n
.
Если
же
n
велико
(
больше
30…40),
то
в
качестве
оценки
)(XD
вполне
можно
использовать
выборочную
диспер
-
сию
В
D
.
Что касается вопроса эффективности оценок параметров, то для широкого
класса генеральных совокупностей доказательство эффективности оценок можно
получить с помощью неравенства Рао-Крамера-Фреше, которое мы здесь приво-
дить не будем. Приведём лишь некоторые полученные с использованием этого
неравенства факты:
• если
признак
Х
в
генеральной
совокупности
имеет
нормальное
распределение
,
то
выборочная
средняя
В
X
является
эффективной
оценкой
генеральной
средней
)(
0
XMx
=
;
• если
признак
Х
в
генеральной
совокупности
имеет
нормальное
распределение
,
то
эффективной
оценкой
генеральной
дисперсии
)(XD
является
статистика
n
xx
D
n
i
i
В
∑
=
−
=
1
2
0
)(
)
,
но
для
её
нахождения
нужно
знать
генеральную
среднюю
0
x
,
кото
-
рая
,
как
правило
,
неизвестна
.
Однако
выборочная
дисперсия
В
D
и
исправленная
выборочная
дисперсия
*
В
D
являются
асимпто
-
тически
эффективными
оценками
генеральной
дисперсии
,
т
.
е
.
при
∞
→
n
они
будут
стремиться
к
эффективной
оценке
.
Вспомним
,
что
математическое
ожидание
случайной
величины
мы
называли
начальным
моментом
первого
порядка
,
а
дисперсию
–
центральным
моментом
второго
порядка
.
Аналогично
вводят
понятия
эмпирических
моментов
.
В
отличие
от
теоретических
моментов
,
эмпирические
моменты
вычисляют
по
данным
наблюдений
.
Начальным эмпирическим моментом
k-го порядка
называют
среднее
значение
k
-x
степеней
вариантов
:
n
nx
m
i
i
k
i
k
∑
=
=ν
1
~
.
Центральным эмпирическим моментом k-го порядка
называют
среднее
значение
k
-x
степеней
разностей
В
xx
i
−
:
n
nxx
m
i
i
k
i
k
В
∑
=
−
=µ
1
)(
~
.
Очевидно
,
что
В
x=ν
1
~
,
0
~
1
=µ
,
а
В
D=µ
2
~
.
Можно
доказать
,
что
начальные
и
центральные
эмпирические
моменты
яв
-
ляются
состоятельными
оценками
соответственно
начальных
и
центральных
теоретических
моментов
того
же
порядка
.
На
этом
основан
метод
моментов
точечной
оценки
неизвестных
параметров
заданного
распределения
.
Он
состоит
в
том
,
что
определённое
количество
выборочных
моментов
(
начальных
или
центральных
)
приравнивается
к
соответствующим
теоре
-
тическим
моментам
случайной
величины
X
.
Пусть
задан
вид
функции
распределения
),(
θ
xF
,
определяемой
одним
неизвестным
параметром
θ
.
Для
его
оценки
достаточно
иметь
одно
уравнение
относительно
этого
параметра
.
Согласно
методу
моментов
,
приравняем
,
например
,
на
-
чальный
теоретический
момент
первого
порядка
начальному
эмпирическому
моменту
первого
порядка
:
11
~
ν=ν
.
Учитывая
,

Страницы