Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния используется
выборочное среднеквадратическое
(
стандартное
)
откло-
нение
В
Ds =
. Его преимущество перед дисперсией состоит в том, что оно имеет те же единицы измерения, что и значения
признака:
n
xxn
s
k
i
В
ii
∑
=
−
=
1
2
)(
. (6.3.8)
Пример 5.
Вычислить выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение для вариационного ряда
из примера 2.
Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой (6.3.7). Учтём полученное в примере 4 значение выборочной
средней 22,25=
В
x . Имеем
.5421,622,25100/)395,30845,29995,27
2145,262595,241845,23995,21745,20(
2222
22222
=−⋅+⋅+⋅+
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
В
D
Найдём выборочное среднеквадратическое отклонение:
56,25421,6
≈==
В
Ds .
6.4. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ
Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических предпо-
ложений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Например, размер деталей, изготовленных по оп-
ределённой технологии, имеет нормальное распределение
σ,a
N с известным параметром
а
и неизвестным σ. Количество по-
купателей в магазине в течение часа имеет распределение Пуассона с неизвестной интенсивностью λ и т.п.
Предположим, что имеется выборка объёма
n
, элементы которой
n
XXX ,,,
21
K
независимы (это условие выполнено
для повторной выборки, а также для бесповторной выборки при бесконечном объёме генеральной совокупности) и имеют
одинаковый закон распределения
)(xF
θ
, известным образом зависящий от неизвестного параметра θ. Например, для всех
ni ,,1 K
=
•
i
X
имеет
распределение
Пуассона
λ
Π
,
где
0
>
λ
=
θ
–
неизвестный
параметр
;
•
i
X
имеет
распределение
Бернулли
p
B
,
где
(
)
1;0∈=θ p
–
неизвестный
параметр
;
•
i
X
имеет
равномерное
распределение
b
U
,0
,
где
0
>
=
θ
b
–
неизвестный
параметр
;
•
i
X
имеет
нормальное
распределение
σ,a
N
,
где
);0(),(
+∞
×
ℜ
∈
σ
θ
a
–
неизвестные
параметры
;
•
i
X
имеет
нормальное
распределение
1,a
N
,
где
ℜ
∈
=
θ
a
–
неизвестный
параметр
.
Для
вычисления
параметра
θ
исследовать
все
элементы
генеральной
совокупности
не
представляется
возможным
.
Поэтому
о
параметре
θ
пытаются
судить
по
выборке
.
Статистической оценкой
(
статистикой
)
*
n
θ
называют
функцию
от
элементов
выборки
:
*
n
θ
=
*
n
θ
(
X
1
,
X
2
, …,
X
n
)
.
Поскольку
X
1
,
X
2
, …,
X
n
–
случайные
величины
,
то
и
оценка
*
n
θ
также
является
случайной
величиной
,
в
отличие
от
оцениваемого
параметра
θ
,
который
является
величиной
неслучайной
,
детерминированной
.
Всегда
существует
множество
функций
от
результатов
наблюдений
,
которые
можно
предложить
в
качестве
оценки
па
-
раметра
θ
.
Например
,
если
параметр
θ
является
математически
ожиданием
случайной
величины
Х
:
)(XM
θ
,
то
в
каче
-
стве
его
оценки
*
n
θ
по
выборке
можно
предложить
выборочную
среднюю
В
x
,
моду
В
Mo
,
медиану
В
Me
,
полусумму
наи
-
меньшего
и
наибольшего
значений
по
выборке
2
minmax
xx +
и
т
.
д
.
Чтобы
определить
,
какая
из
этих
оценок
является
лучше
других
,
нужно
сформулировать
свойства
,
какими
должна
обладать
«
доброкачественная
»
оценка
.
Так
как
*
n
θ
случайная
вели
-
чина
,
невозможно
предсказать
конкретное
значение
оценки
в
каждом
частном
случае
.
Так
что
о
качестве
оценки
следует
судить
не
по
индивидуальным
её
значениям
,
а
по
распределению
её
значений
при
большом
числе
испытаний
.
Оценка
*
n
θ
называется
несмещённой
,
если
её
математическое
ожидание
равно
оцениваемому
параметру
,
т
.
е
.
М
(
*
n
θ
)=
θ
.
В
противном
случае
оценка
называется
смещённой
.
Если
это
равенство
не
выполняется
,
то
оценка
*
n
θ
,
полученная
по
раз
-
ным
выборкам
,
будет
либо
в
среднем
завышать
значение
θ
(
если
М
(
*
n
θ
)>
θ
)
либо
в
среднем
занижать
её
(
если
М
(
*
n
θ
)<
θ
).
Таким
образом
,
требование
несмещённости
гарантирует
от
получения
систематических
ошибок
.
Было
бы
ошибочным
считать
,
что
несмещённая
оценка
всегда
даёт
хорошее
приближение
оцениваемого
параметра
.
Возмож
-
ные
значения
*
n
θ
могут
быть
сильно
рассеяны
вокруг
своего
среднего
значения
,
т
.
е
.
иметь
большую
дисперсию
)(
*
n
D θ
.
В
этом
случае
найденная
по
одной
выборке
оценка
может
весьма
отличаться
от
своего
среднего
значения
М
(
*
n
θ
),
а
значит
,
и
от
оцениваемого
параметра
θ
.
Если
же
потребовать
,
чтобы
дисперсия
)(
*
n
D θ
была
мала
,
то
возможность
допустить
грубую

Страницы