Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

>
Проведём доказательство для случая, когда
Х
– дискретная случайная величина с конечным числом значений. Запи-
шем выражение дисперсии случайной величины
Х
:
∑∑∑
∈∈=
−+−=−=
21
22
1
2
)()()()(
Ii
ii
Ii
ii
n
i
ii
paxpaxpaxXD
. (5.7.2)
Здесь множество
I
1
– это такое подмножество индексов {1, 2, …,
n
}, что для всех
1
Ii ∈
выполнено:
ε<− ||
ax
i
, а множество
I
2
– это подмножество всех таких индексов из {1, 2, …,
n
}, для которых выполнено:
ε≥− ||
ax
i
. Очевидно, что обе суммы в
разложении (5.7.2) неотрицательны. Поэтому
∑
∑
∑
∈∈∈
ε=ε≥−≥
222
222
)()(
Ii
i
Ii
i
Ii
ii
pppaxXD
или
2
)(
2
ε
≤
∑
∈
XD
p
Ii
i
. Учитывая оп-
ределение множества
I
2
, получим:
(
)
ε≥−=
∑
∈
aXPp
Ii
i
2
, откуда следует утверждение теоремы.
<
Замечание
. Учитывая, что события
ε
≥
−
||
aX
и
ε
<
−
||
aX
являются
противоположными
,
неравенство
Чебышёва
мож
-
но
записать
в
другой
форме
:
2
)(
1)|(|
ε
−≥ε<−
XD
aXP
. (5.7.3)
Пример
4
.
Оценим
вероятность
того
,
что
для
любой
случайной
величины
вероятность
её
отклонения
от
математическо
-
го
ожидания
не
превысит
трёх
среднеквадратических
отклонений
.
Положим
в
формуле
(5.7.3)
σ
=
ε
3
,
где
σ
–
среднеквадра
-
тическое
отклонение
случайной
величины
.
Тогда
889,0
9
8
)3(
1)3|(|
2
2
≈=
σ
σ
−≥σ<− aXP
.
Напомним
,
что
для
нормального
закона
распределения
правило
трёх
сигм
выполняется
с
вероятностью
9973,0
=
P
.
Таким
образом
,
правило
трёх
сигм
с
достаточно
большой
вероятностью
его
выполнения
можно
применять
на
практике
для
произ
-
вольных
случайных
величин
.
Пример
5
.
Найдём
вероятность
отклонения
относительной
частоты
события
n
m
от
вероятности
p
менее
чем
на
ε
,
т
.
е
.
)ε≤
−
p
n
m
P
,
если
испытания
проводятся
по
схеме
Бернулли
.
Для
случайной
величины
n
m
Z
A
=
было
получено
(
формулы
(5.5.4)
и
(5.5.4)),
что
pZM
A
=
)(
,
n
pq
ZD
A
=)(
.
Подставляя
эти
значения
в
(5.7.3)
получим
:
2
1||
ε
−≥
ε<−
n
pq
p
n
m
P
.
Далее мы воспользуемся неравенством Чебышева для доказательства теоре-
мы Чебышёва (закон больших чисел в форме Чебышева).
Теорема
2
(
Чебышёва
).
Пусть
Х
1
, ...,
Х
n
–
взаимно
независимые
случайные
величины
,
причём
их
дисперсии
ограничены
одной
и
той
же
постоянной
С
:
CXD
i
≤)(
),1( ni =
.
Тогда
для
любого
0
>
ε
1lim
2121
=
ε≤
+++
−
+++
∞→
n
aaa
n
XXX
P
nn
n
KK
, (5.7.4)
где
),1()( niXMa
ii
==
.
>
Рассмотрим
случайную
величину
Х
,
равную
среднему
арифметическому
n
случайных
величин
:
n
XXX
X
n
+
+
+
=
K
21
. (5.7.5)
Тогда
её
математическое
ожидание
=
=
)(XMa
=+++ ))()()((
1
21 n
XMXMXM
n
K
(5.7.6)
n
aaa
n
+++
=
K
21
.
Так
как
случайные
величины
независимы
,
то
n
C
n
nC
n
CCC
XDXDXD
n
XD
n
==
+
+
+
≤+++=
22
21
2
))()()((
1
)(
K
K
,
т
.
е
.
n
C
XD
−≥− 1)(1
.
Применим
к
случайной
величине
Х
неравенство
(5.7.3):
22
1
)(
1)|(|
ε
−≥
ε
−≥ε<−
n
CXD
aXP
. (5.7.7)

Страницы