Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Выясним, как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров
а
и σ. Если параметр σ остаётся постоян-
ным, и меняется параметр
а
(
321
aaa <<
), то нормальная кривая смещается вдоль оси абсцисс, не меняя формы (рис. 5.6.4,
а
). Если параметр
а
остаётся постоянным, и меняется σ, то меняется ордината максимума кривой
)2/(1 πσ
. При уменьше-
нии σ (т.е. при уменьшении рассеяния случайной величины), ордината точки максимума увеличивается. Но так как площадь
под любой кривой распределения должна оставаться равной единице, то кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь
с боков. При увеличении параметра σ наблюдается обратная картина (рис. 5.6.4,
б
). Таким образом, параметр
а
определяет
положение, а параметр σ – форму нормальной кривой.
а
)
б
)
Рис. 5.6.4
Сложность нахождения функции распределения случайной величины, распределённой по нормальному закону, связана
с тем, что интеграл от функции (5.6.7) является неберущимся в элементарных функциях. Поэтому функцию распределения
)(xF
выражают
через
функцию
Лапласа
:
∫
−
π
=Φ
x
t
dtex
0
2/
2
2
1
)(
, (5.6.11)
для
которой
составлены
таблицы
.
Теорема
10
.
Если
случайная
величина
Х
имеет
нормальный
закон
распределения
σ,a
N
,
то
её
функция
распределения
выражается
через
функцию
Лапласа
по
формуле
σ
−
Φ+=
ax
xF
5,0)(
. (5.6.12)
>
По
формуле
(5.2.2)
функция
распределения
.
2
1
2
1
2
1
;/)(
2
1
)()(
/)(
0
2
0
2
/)(
2
2
)(
222
2
2
∫∫∫
∫∫
σ−
−
∞−
−
σ−
∞−
−
∞−
σ
−
−
∞−
π
+
π
=σ
πσ
=
=
σ=
σ−=
=
πσ
==
ax
zz
ax
z
x
at
x
dzedzedze
dzdt
atz
dtedttfxF
Первый
интеграл
есть
½
интеграла
Пуассона
(5.6.8)
в
силу
чётности
подынтегральной
функции
.
Следовательно
,
первое
сла
-
гаемое
равно
5,0
2
2
2
1
=
π
π
.
Второе
слагаемое
с
учётом
(5.6.11)
равно
σ
−
Φ
ax
.
Следовательно
,
получаем
(5.6.12).
<
Рассмотрим
свойства
нормально
распределённой
случайной
величины
.
1.
Вероятность
попадания
случайной
величины
Х
,
распределённой
по
закону
σ,a
N
,
в
интервал
[
]
βα;
,
равна
σ
−
α
Φ−
σ
−
β
Φ=β≤≤α
aa
XP )(
.
>
Учитывая
,
что
вероятность
попадания
случайной
величины
в
интервал
равна
приращению
функции
распределения
на
этом
интервале
,
получим
:
=
σ
−
α
Φ+−
σ
−
β
Φ+=α−β=β≤≤α
aa
FFXP
5,05,0)()()(
σ
−
α
Φ−
σ
−
β
Φ=
aa
.
<
2.
Вероятность
того
,
что
отклонение
случайной
величины
Х
,
распределённой
по
закону
σ,a
N
,
от
математического
ожидания
а
не
превысит
по
абсолютной
величине
заданное
число
0
>
δ
,
равна
σ
δ
Φ=δ≤− 2)|(| aXP
. (5.6.13)
>
Заменим
неравенство
δ
<
−
|| aX
равносильным
ему
двойным
неравенством
δ
<
−
<
δ
−
aX
или
δ
+
<
<
δ
−
aXa
.
Тогда
,
учитывая
нечётность
функции
Лапласа
,
получим
:
=
σ
−
δ
−
Φ−
σ
−
δ
+
Φ=δ+≤≤δ−
aaaa
aXaP
)(

Страницы