Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

p
p
p
q
qq
p
q
q
dq
d
p
1
)1(
)1(
1
22
==
−
+−
=
−
=
Для нахождения дисперсии сначала найдём математическое ожидание квадрата случайной величины
Х
:
=+−===
∑∑∑
∞
=
−
∞
=
−
∞
= 1
12
1
12
1
2
2
))(()(
i
i
i
i
i
ii
pqiiipqipxXM
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
+−=
1
1
1
1
)1(
i
i
i
i
ipqpqii
Вторую сумму мы вычисляли при нахождении математического ожидания и получили, что она равна
p
1
. Вычислим первую
сумму:
∑∑∑
∞
=
∞
=
−
∞
=
−
==−=−
2
2
2
2
2
1
1
)1()1(
i
i
i
i
i
i
dq
qd
pqqiipqpqii
=
−
=
∑
∞
=
)
1
()(
2
2
2
2
2
2
q
q
dq
d
pqq
dq
d
pq
i
i
232
2
2
)1(
2
)1(
)1(2
p
q
q
pq
q
qqq
dq
d
pq =
−
=
−
+−
=
.
Тогда
22
2
221
)(
p
qp
p
q
p
XM
+
=+=
.
Далее находим дисперсию:
[ ]
22222
2
2
21212
)()()(
p
q
p
qq
p
qp
pp
qp
XMXMXD =
−
=
−
+
=−
+
=−=
.
<
5.5.4. Гипергеометрическое распределение
Рассмотрим ситуацию: имеется
N
объектов, из которых
M
обладают заданным свойством, а оставшиеся
N – M
не обла-
дают. Случайным образом без возврата извлекают
n
объектов
)(
Nn
≤
.
Пусть
случайная
величина
Х
представляет
собой
число
извлечённых
объектов
,
которые
обладают
указанным
свойством
.
Найдём
вероятность
события
X
=
m
.
Общее
число
возможных
элементарных
исходов
равно
числу
способов
,
которыми
можно
извлечь
n
объектов
из
N
:
n
N
C
.
Число
элементар
-
ных
исходов
,
благоприятствующих
событию
X
=
m
,
равно
числу
способов
,
сколькими
мы
извлекаем
m
«
нужных
»
объектов
из
M
имеющихся
«
нужных
»,
умноженное
на
число
способов
,
сколькими
можно
извлечь
n – m
«
ненужных
»
объектов
из
имеющихся
в
совокупности
N – M
«
ненужных
»,
т
.
е
.
равно
mn
MN
m
M
CC
−
−
.
Искомая
вероятность
равна
отношению
числа
исходов
,
благоприятствующих
событию
X
=
m
к
общему
числу
возможных
исходов
,
т
.
е
.
n
N
mn
MN
m
M
m
C
CC
mXPp
−
−
=== )(
. (5.5.12)
Определение
4
.
Дискретная
случайная
величина
Х
имеет
гипергеометрическое
распределение
с
параметрами
N
,
M
и
n
,
если
она
принимает
значения
0, 1, ..., min
(
n
,
M
)
с
вероятностями
,
определяемыми
формулой
(5.5.12),
где
NnNM
≤
≤
,
;
N
,
M
и
n
–
натуральные
числа
.
Приведём без доказательства теорему.
Теорема
6
.
Математическое
ожидание
случайной
величины
Х
,
имеющей
гипергеометрическое
распределение
с
пара
-
метрами
N
,
M
и
n
,
есть
N
nM
XM =)(
, (5.5.13)
а
её
дисперсия
−
−
−
=
N
n
N
M
N
nM
XD 11
1
)(
. (5.5.14)
Заметим
,
что
величина
N
M
p =
является
вероятностью
извлечения
одного
объекта
,
обладающего
заданным
свойством
,
из
совокупности
.
Если
N
велико
по
сравнению
с
числом
извлекаемых
объектов
n
,
то
эта
вероятность
при
последующем
из
-
влечении
объектов
будет
меняться
незначительно
.
Тогда
вероятность
,
задаваемая
формулой
(5.5.12)
будет
близка
к
вероят
-
ности
,
вычисляемой
по
(5.5.1)
для
биномиального
распределения
.
Поэтому
биномиальное
распределение
можно
рассматри
-
вать
как
модификацию
гипергеометрического
для
случая
бесконечной
совокупности
объектов
.
(использовали свойство, что равномерно сходящиеся ряды можно почленно дифференцировать).

Страницы