Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)()()(
11 mm
XDXDXXD ++=±± KK
. (5.4.14)
>
Доказательство проведём для случая двух случайных величин, т.е. докажем равенство
)()()(
2121
XDXDXXD +=±
.
Обозначим
)(
11
XMa =
и
)(
22
XMa =
. Тогда из (5.4.13) получим
[ ]
=±−±=±
2
21
2
2121
)()()( XXMXXMXXD
2
21
2
2
21
2
1
)()2( aaXXXXM ±−+±=
.
Далее используем свойства 3 и 4 математического ожидания:
=−−+±=±
2
221
2
1
2
2
21
2
1
21
2)()()(2)()( aaaaXMXMXMXMXXD m
+−= ))((
2
1
2
1
aXM )()())((
21
2
2
2
2
XDXDaXM +=−
.
Кроме математического ожидания и дисперсии, для анализа и описания слу-
чайных величин используются и другие числовые характеристики (мода, медиа-
на, асимметрия, эксцесс и др.), определения которых мы здесь не будем приво-
дить. Дадим только определения моментов – начальных и центральных.
Начальным моментом
k-
го порядка случайной величины
Х
называется математическое ожидание
k
-й степени этой ве-
личины:
).(
k
k
XM
=ν
(5.4.15)
Центральным моментом
k
-го порядка случайной величины
Х
называется математическое ожидание
k
-й степени откло-
нения этой величины:
[
]
.)(
k
k
XMXM
−=µ
(5.4.16)
Нетрудно заметить, что при
1=k
начальный момент (5.4.15) равен математическому ожиданию:
)(
1
XM
=ν
, а цен-
тральный момент равен нулю:
0
1
=µ
. При
2=k
центральный момент (5.4.16) равен дисперсии:
)(
2
XD=
µ
. Моменты
высших порядков служат для более детального описания случайной величины.
В следующих двух параграфах приведены основные законы распределения дискретных (параграф 5.5) и непрерывных
(параграф 5.6) случайных величин, которые используются для построения вероятностных моделей реальных технических
процессов, а также природных и социальных явлений.
5.5. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
5.5.1. Биномиальный закон распределения
Пусть производится
n
независимых испытаний, в каждом из которых событие
А
может произойти с вероятностью
p
или
не произойти с вероятностью
q
= 1 –
p
. Рассмотрим случайную величину
Х
– количество появлений события
A
в этих испы-
таниях. Очевидно, что множество значений случайной величины
Х
– множество
{
}
n...,,1,0
, причём вероятности событий
)( mXP =
, где nm ,0= , могут быть найдены по формуле Бернулли (4.11.2):
mnmm
nm
qpCmXPp
−
=== )( (
;1;10 pqp
−
=
<
<
nm ,0=
). (5.5.1)
Определение
1
.
Закон
распределения
дискретной
случайной
величины
Х
,
заданный
формулой
(5.5.1),
называется
бино
-
миальным
законом
распределения
.
Запишем
биномиальный
закон
в
виде
таблицы
:
Х
0
1
… m … m
p
n
n
qC
0
111 −n
n
qpC
…
mnnm
n
qpC
−
nn
n
pC
Закон
назван
биномиальным
,
так
как
∑
=
n
i
i
p
0
представляет
собой
сумму
всех
членов
разложения
бинома
Ньютона
:
11)(
2221110
==+=++++++
−−− nnnn
n
mnmm
n
n
n
n
n
n
n
qppCqpCqpCqpCqC KK
.
Таким
образом
,
мы
доказали
,
что
выполнено
основное
свойство
ряда
распределения
∑
=
=
n
i
i
p
0
1
.
Теорема 3.
Математическое
ожидание
случайной
величины
Х
,
распределённой
по
биномиальному
закону
,
равно
произ
-
ведению
числа
испытаний
на
вероятность
появления
события
в
одном
испытании
:
npXM =)(
, (5.5.2)
а
её
дисперсия
равна
произведению
числа
испытаний
на
вероятности
появления
и
непоявления
события
в
одном
испытании
:
npqXD
=
)(
. (5.5.3)

Страницы