Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Математическим ожиданием
M
(
X
) дискретной случайной величины, множество значений которой конечно, называется
сумма произведений всех её значений на соответствующие им вероятности:
∑
=
=
n
i
ii
pxXM
1
)(
. (5.4.1)
Математическим ожиданием
M
(
X
) дискретной случайной величины, множество значений которой счётно, называется
сумма ряда (если он абсолютно сходится):
∑
∞
=
=
1
)(
i
ii
pxXM
. (5.4.2)
Если ряд (5.4.2) расходится, то соответствующая случайная величина не будет иметь математического ожидания. Из
определения следует, что математическое ожидание является неслучайной величиной (константой). С наибольшей полнотой
смысл математического ожидания раскрывается в законе больших чисел. Можно заметить, что если случайная величина
принимает значения из некоторого отрезка
[
]
ba,
, то и её математическое ожидание не может выйти за пределы этого отрез-
ка.
Математическим ожиданием
M
(
X
) непрерывной случайной величины с плотностью распределения
)(xf
называется
не
-
собственный
интеграл
(
если
он
абсолютно
сходится
):
∫
+∞
∞−
= dxxxfXM )()(
. (5.4.3)
Если
непрерывная
случайная
величина
может
принимать
значения
только
из
отрезка
[
]
ba,
,
то
вне
его
плотность
случайной
величины
равна
нулю
,
поэтому
вместо
формулы
(5.4.3)
можно
использовать
∫
=
b
a
dxxxfXM )()(
. (5.4.4)
Приведём
основные
свойства
математического
ожидания
.
1.
Математическое
ожидание
постоянной
величины
равно
самой
этой
величине
:
CCM
=
)(
. (5.4.5)
>
Постоянную
величину
С
можно
рассматривать
как
дискретную
случайную
величину
,
принимающую
значение
С
с
вероятностью
1.
Поэтому
её
математическое
ожидание
CCCM
=
⋅
=
1)(
.
<
2.
Постоянный
множитель
можно
выносить
за
знак
математического
ожидания
:
)()( XCMCXM
=
. (5.4.6)
>
Проведём
доказательство
для
случая
,
когда
случайная
величина
Х
является
дискретной
с
конечным
множеством
зна
-
чений
.
Так
как
случайная
величина
СХ
принимает
значения
i
Cx
с
вероятностями
i
p
,
то
)()()(
11
XCMpxCpCxCXM
n
i
ii
n
i
ii
===
∑∑
==
.
<
3.
Математическое
ожидание
суммы
случайных
величин
равно
сумме
их
математических
ожиданий
:
)()()(
11 mm
XMXMXXM ++=++ KK
. (5.4.7)
4.
Математическое
ожидание
произведения
взаимно
независимых
случайных
величин
равно
произведению
их
матема
-
тических
ожиданий
:
)()()(
11 mm
XMXMXXM ⋅⋅=⋅⋅ KK
. (5.4.8)
Свойства
3
и
4
приводим
без
доказательства
.
Только математическое ожидание не может полностью характеризовать
случайную величину. В большинстве практически важных случаях требуется
знать не только средние показатели, но и отклонение (разброс, рассеяние) пока-
зателя от среднего значения.
Закон распределения даёт исчерпывающее представление о случайной величине, так как позволяет
вычислять вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Однако закон распределе-
ния не всегда бывает удобным для анализа, часто удобнее пользоваться числами, которые описывают
случайную величину суммарно. Такие числа называются
числовыми характеристиками
случайной ве-
личины. Они помогают в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения. Основ-
ными числовыми характеристиками случайной величины являются
математическое ожидание
, характе-
ризующее среднее значение случайной величины, и
дисперсия
, характеризующая раcсеяние случайной
величины.

Страницы