Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

делить число элементарных событий, входящих в
m
B
, заметим, что оно совпадает с числом способов выбора на
m
мест в
цепочке
(
)
n
ααα=ω ,,,
21
K
единиц, в то время как оставшиеся
m
n
−
мест однозначно заполняются нулями. Ясно, что речь
идёт о сочетаниях, поэтому число элементарных событий равно
m
n
C
. Таким образом, в силу определения вероятности в ко-
нечной схеме (4.6.2) имеем
(
)
(
)
,
mnmm
n
B
mnm
B
m
qpCqppBP
mm
−
∈ω
−
∈ω
==ω=
∑
∑
что и требовалось доказать.
Формулу (4.11.2) называют формулой Бернулли в честь знаменитого швейцарского математика Якоба Бернулли (1654 –
1705).
4.12. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ
При больших значениях
n
, а также малых
p
или
q
использование формулы Бернулли (4.11.2) становится затруднитель-
ным. В таких случаях для вычисления вероятностей
(
)
mP
n
применяют приближённые (
асимптотические
) формулы, которые
формулируются в следующих предельных теоремах.
Теорема 2
(теорема Пуассона). Пусть
n
велико,
p
мало и
np
=
λ
, тогда имеет место формула
( )
.
!
λ−
λ
≈ e
m
mP
m
n
(4.12.1)
Формулу (4.11.2) после элементарных преобразований представим в виде
( ) ( )
( ) ( )
=
λ
−
λ+−−
=−=
−
−
mnm
mn
mm
nn
nnm
mnnn
ppCmP 1
!
11
1
K
( )
.11
1
1
2
1
1
1
!
nm
m
nnn
m
nnm
λ−
+
λ
−
−
−
−
−
λ
=
−
K
Используя второй замечательный предел, получим
( )
,
при
!
∞→
λ
→
λ−
ne
m
mP
m
n
откуда следует утверждение теоремы.
Замечание 3.
Вероятность того, что при достаточно большом числе независимых испытаний произойдёт не менее
1
m
и
не более
2
m
успехов можно найти по формуле
( )
,
!
2
1
21
λ−
=
∑
λ
≈≤≤ e
m
mmmP
m
mm
m
n
(4.12.2)
непосредственно вытекающей из аксиомы аддитивности А3 и формулы (4.12.1).
Замечание 4.
При малых значениях
q
асимптотическую формулу Пуассона можно использовать для числа неудач.
Теорема 3
(локальная теорема Муавра-Лапласа). Пусть
n
велико и
(
)
npqnpmx
m
/−=
, тогда имеет место формула
( ) ( ) ( )
.
2
1
,
1
2/
2
x
mn
exx
npq
mP
−
π
=ϕϕ≈
(4.12.3)
Доказательство теоремы 3 выходит за рамки нашего курса теории вероятностей.
Следующую предельную теорему также приведём без доказательства.
Теорема 4
(интегральная теорема Муавра-Лапласа). Вероятность того, что при достаточно большом числе испытаний
схемы Бернулли произойдёт не менее
1
m
и не более
2
m
успехов выражается формулой
(
)
(
)
(
)
,
12
21
mmn
xxmmmP Φ−Φ≈≤≤
(4.12.4)
где
( )
.2,1,,
2
1
0
2/
2
=
−
=
π
=Φ
∫
−
i
npq
npm
xdtex
i
m
x
t
i
Замечание 5
. Асимптотические формулы Муавра-Лапласа (4.12.3), (4.12.4) рекомендуется применять в случае, когда
10
>
npq
.
В
противном
случае
к
более
точным
результатам
приводят
формулы
Пуассона
(4.12.1), (4.12.2).
В
заключение
отметим
,
что
вычисления
по
асимптотическим
формулам
(4.12.1) – (4.12.4)
выполняются
с
использовани
-
ем
специальных
таблиц
,
которые
приведены
практически
во
всех
учебниках
и
сборниках
задач
по
теории
вероятностей
.
5. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
5.1.
ПОНЯТИЕ
СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
.
ДИСКРЕТНЫЕ
СЛУЧАЙНЫЕ
ВЕЛИЧИНЫ
.
ЗАКОН
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ
.
ФУНКЦИЯ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ

Страницы