Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 4.8.1
Предположим, что существует некоторая непрерывная на
Ω
функция
(
)
0, ≥yxp
, такая что двойной интеграл от нее по
области
Ω
равен 1, т.е.
( )
∫ ∫
− −
=
a
a
a
a
dxdyyxp .1,
(4.8.1)
Вероятностью события
А
назовём число
(
)
AP
, определяемое формулой
(
)
(
)
.,
∫∫
=
A
dxdyyxpAP
(4.8.2)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,,,, BPAPdxdyyxpdxdyyxpdxdyyxpBAP
BABA
+=+==+
∫∫∫∫∫∫
+
если события А и В несовместны (рис. 4.8.1).
Рассмотрим простейший случай, когда
( )
2
4
1
,
a
yxp =
на
Ω
, (4.8.3)
что позволяет удовлетворить условию (4.8.1). Подставив функцию (4.8.3) в интеграл (4.8.2) и интегрируя, получим
( )
,
4
1
2
Ω
==
∫∫
S
S
dxdy
a
AP
A
A
(4.8.4)
где
A
S
– площадь области
А
;
2
4aS =
Ω
– площадь квадрата. Такое определение вероятности называют
геометрическим
.
Геометрическое определение вероятности (4.8.4) можно трактовать как обобщение классического определения вероятности
(4.6.3), подразумевая при этом, что попадание точки в любую часть множества
Ω
равновероятно.
4.9. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ
Здесь нас будет интересовать зависимость между вероятностями событий
А
,
В
и вероятностью их произведения
АВ
. Что-
бы осмыслить эту зависимость, обратимся снова к относительным частотам (4.2.1). Пусть проводится
m
испытаний, в которых
A
m
раз произошло событие
А
. Предположим, что среди
A
m
испытаний наряду с событием
А
AB
m
раз произошло событие
В
.
Рассмотрим отношение
(
)
AABm
mmABh /| =
, которое является относительной частотой события
В
по отношению к испыта-
ниям с исходом
А
. Элементарные выкладки приводят к формуле
( )
(
)
( )
,
/
/
|
Ah
ABh
mm
mm
ABh
m
m
A
AB
m
==
Определение 1. Условной
вероятностью
события
В
при условии
А
называется число
( )
(
)
( )
,|
AP
ABP
ABP =
если
(
)
0>AP
. (4.9.1)
Условную вероятность иногда обозначают символом
(
)
BP
A
.
Из равенства (4.9.1) следует полезная формула
(
)
(
)
(
)
,| ABPAPABP =
(4.9.2)
которую можно распространить и на большее число событий. Так, для трёх событий
А
,
В
,
С
имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
.|| ABCPABPAPABCP =
(4.9.3)
Заметим, что формулы (4.9.2), (4.9.3) в общем случае не пригодны для вычисления вероятностей произведений собы-
тий, поскольку для этой цели необходимо знание условных вероятностей. Однако в некоторых случаях они могут оказаться
полезными.
Пример 7.
Пусть имеются две урны, в которых общее число шаров равно соответственно
1
L
и
2
L
, а число белых шаров
–
1
M
и
2
M
. Испытание заключается в том, что из первой урны наудачу перекладывается один шар во вторую урну, затем из
второй урны также наугад вынимается один шар. Найдём вероятность того, что
оба
выбранных шара являются белыми. В
качестве событий
А
и
В
рассматриваем появление белого шара соответственно из первой и второй урн, тогда интересующее
нас событие будет
АВ
. Вероятность этого события находим, используя формулу (4.9.2) и определение классической вероят-
ности (4.6.3):
( ) ( ) ( )
.
1
1
|
2
2
1
1
+
+
==
L
M
L
M
ABPAPABP
Введём теперь понятие независимости событий. Здесь возможны два подхода.
Определение 2.
События
А
и
В
называются
независимыми
, если вероятность их произведения равна произведению ве-
роятностей, т.е. справедливо равенство
Используя свойства двойного интеграла, нетрудно проверить, что аксиомы А1 – А3 выполняются, в частности,
которая может быть положена в основу определения условной вероятности.

Страницы