Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В точке
iz
2
1
=
функция
(
)
z
ϕ
аналитична, при этом
( )
( )
0
32
1
4
2
3
1
≠−==ϕ
i
i
z
. Теперь, согласно теореме 2 (см. (3.4.5)) видим,
что
iz
2
1
=
– полюс третьего порядка. Аналогично, и точка
iz
2
2
−=
– полюс третьего порядка.
б) Запишем
(
)
zf
в виде
( )
+=
z
zf
1
1ln
. Воспользовавшись разложением (3.1.10) Маклорена логарифмической функ-
ции для аргумента
z
1
(вместо
z
) имеем
( )
( )
KK +
+
−+−+−=
+
n
n
znzz
zz
1
1
1
3
1
2
111
1ln
32
.
Теперь мы видим, что
0
=
z
– существенно особая точка для
(
)
zf
.
4. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
4.1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Рассмотрим конечное множество
{
}
n
xxxX ,,,
21
K=
, состоящее из
n
элементов. Из множества
Х
можно образовать раз-
личные подмножества
{
}
k
iii
xxxV ,,,
21
K=
, состоящие из
k
(
)
nk ≤
элементов. Эти подмножества будем называть
выбор-
ками
объёма
k
из
n
различных
элементов множества
Х
.
Выборки, различающиеся лишь по виду входящих в них элементов называются
сочетаниями
. Число сочетаний может
быть найдено по формуле
( )
,
!!
!
knk
n
C
k
n
−
=
(4.1.1)
где
nn
⋅
⋅
⋅
=
K
21!
. Например, из множества
{
}
ВБА
X ,,=
, выбирая по 2 элемента
(
)
2,3 == kn
, можно образовать 3 сочета-
ния
{
}
{
}
ВАБА
,,,
и
{
}
ВБ
,
.
Выборки, различающиеся как видом элементов, так и порядком их вхождения в выборку, называются
размещениями
.
Число размещений можно подсчитать по формуле
( )
.
!
!
kn
n
A
k
n
−
=
(4.1.2)
Например, из множества
{
}
ВБА
X ,,=
, выбирая по 2 элемента, можно образовать 6 размещений
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
ВБВ,АВААББА
,,,,,,,,
и
{
}
БВ
,
.
Размещения из
n
элементов по
nk =
называются
перестановками
. Различные перестановки
содержат одни и те же элементы, расположенные в разном порядке. Их число согласно (4.1.2)
есть:
,!nAP
n
nn
==
(4.1.3)
так как по определению
1!0
=
.
Размещения из
n
элементов по
k
, в которых элементы могут повторяться, называются
размещениями с повторениями
.
Число таких размещений может быть подсчитано по формуле
.
kk
n
nQ =
(4.1.4)
Возвращаясь к нашему примеру, к 6 перечисленным выше размещениям без повторений необходимо добавить ещё 3 разме-
щения
{
}
{
}
ББАА
,,,
и
{
}
ВВ
,
.
4.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Из повседневной практики известно, что для широкого круга явлений наблюдается неоднозначность исхода при повторе-
нии опыта (
испытания
) с сохранением условий его проведения. События, связанные с такими явлениями, называются
случай-
ными
. Случайными событиями являются, например, выпадение «герба» при подбрасывании монеты, результаты измерения
температуры окружающей среды и т.д. Известно также, что одни случайные события наступают часто, другие – реже. Ясно,
что такие характеристики событий довольно расплывчаты. Более объективной экспериментальной характеристикой случай-
ного события, которое обозначим
А
, является
относительная частота
( )
,
m
m
Ah
A
m
=
(4.2.1)
где
A
m
– число испытаний, в которых событие
А
наступило, а
m
– общее число испытаний.
Опытным путём установлено, что при достаточно большом числе испытаний относитель-
ные частоты появления события
А
в различных сериях испытаний мало отличаются друг от дру-
га. Говорят, что относительная частота при увеличении
m
перестаёт носить случайный характер,
становясь почти постоянной. Это свойство называют
статистической устойчивостью
относи-
тельных частот. Таким образом, относительные частоты в различных сериях испытаний группи-

Страницы