Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
( )
,
!12
1
!5!3
1
sin
242
KK +
+
−+−+−=
n
zzz
z
z
n
n
т.е. точка
0
=
z
является особой и устранимой. Достаточно положить
1
sin
=
z
z
при
0
=
z
, чтобы эта точка стала правильной.
3.4.3. Рассмотрим случай б).
Теорема 2
. Точка
0
z
тогда и только тогда является полюсом
n
-го порядка, когда существует аналитическая в точке
0
z
функция
(
)
z
ϕ
, такая что
(
)
0
0
≠ϕ
z
и
( )
(
)
( )
n
zz
z
zf
0
−
ϕ
=
. (3.4.5)
Пусть
0
z
– полюс
n
-го порядка, тогда (по определению)
( )
( ) ( )
( )
;0,
0
0
0
1
2
0
2
0
≠−+
−
+
−
++
−
=
−
∞
=
−−−
∑
n
m
m
m
n
n
CzzC
zz
C
zz
C
zz
C
zf
K
иначе
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
.
1
0
00
1
0110
0
−−+
+−++−+
−
=
∑
∞
=
−
−−−
m
m
m
n
n
nn
n
zzCzz
zzCCzzC
zz
zf K
(3.4.6)
По условию (так как
(
)
zf
в окрестности точки
0
z
– аналитична), правильная часть ряда Лорана – сходящийся (в окрестно-
сти точки
0
z
) степенной ряд, сумму которого можно считать аналитичной и в точке
0
z
, доопределив её значением
0
C
. Сле-
довательно, в фигурных скобках в (3.4.6) записана некоторая аналитическая функция
(
)
z
ϕ
, т.е. мы пришли к (3.4.5); при
этом
(
)
0
0
≠=ϕ
−
n
Cz
.
Обратно, пусть
(
)
zf
имеет вид (3.4.5) и
(
)
0
0
≠ϕ
z
. Разложив
(
)
z
ϕ
в ряд вида (3.2.2), имеем
( )
( )
( ) ( ) ( )
{
}
=+−+−++−+
−
=
+
+
KK
1
010010
0
1
n
n
n
n
n
zzCzzCzzCC
zz
zf
( ) ( )
( )
,
01
1
0
1
0
0
KK +−+++
−
+
−
=
+
−
zzCC
zz
C
zz
C
nn
nn
(3.4.7)
где
(
)
0
00
≠ϕ=
zC
. Таким образом, мы имеем в разложении Лорана (3.4.7) коэффициент
0
C
перед
( )
n
zz
0
1
−
не равным нулю,
т.е.
0
z
оказывается полюсом
n
-го порядка. Теорема полностью доказана.
Согласно (3.4.5),
0
zz
=
– полюс
n
-го порядка для
(
)
zf
тогда и только тогда, когда эта точка является нулём
n
-го по-
рядка для функции
( )
zf
1
.
3.4.4
Теорема 3
. Точка
0
zz
=
является полюсом
n
-го порядка функции
(
)
zf
тогда и только тогда, когда
(
)
∞=
→
zf
zz
0
lim
.
Согласно формуле (3.4.5) в точке
0
z
, являющейся полюсом
n
-го порядка,
( )
(
)
∞=
−
ϕ
=
→→
n
zzzz
zz
z
zf
0
00
limlim
,
так как
(
)
0
z
ϕ
существует в силу аналитичности
(
)
z
ϕ
в точке
0
z
и
(
)
0
0
≠ϕ
z
.
Обратно, если
(
)
∞=
→
zf
zz
0
lim
, то
( )
0
1
lim
0
=
→
zf
zz
,
а тогда точка
0
z
являются нулём
n
-го порядка для функции
( )
( )
zf
zg
1
=
, т.е.
( )
( )
( )
zf
zzz
n
1
0
=ϕ−
,
где
(
)
z
ϕ
аналитична в точке
0
z
и
(
)
0
0
≠ϕ
z
(см. п. 3.2.3).
Теперь

Страницы