ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
то приходим к доказываемому разложению вида (3.3.2). При вычислениях
n
C
контуром интегрирования (согласно теореме
Коши для двусвязной области) может быть выбрана любая окружность
l
(с центром в точке
0
z
), расположенная целиком в
данном кольце (вместо ранее рассмотренных контуров
γ
и
Γ
).
Итак, согласно (3.3.4)
( )
( )
,
0
∑
∞
−∞=
−=
n
n
n
zzCzf
(3.3.5)
где
(
)
( )
∫
±±=
−
π
=
+
l
K,2,1,0,
2
1
1
0
nds
zs
sf
i
C
n
n
. (3.3.6)
3.3.3. Поставленная задача решена:
(
)
zf
, аналитичная в указанном кольце, может быть представлена в виде суммы ряда
(3.3.5), называемой
рядом Лорана
; коэффициенты ряда вычисляются по формулам (3.3.6).
Впрочем, иногда можно применить другие, более простые приёмы. Продемонстрируем их на примерах.
Пример 1
. Функцию
( )
2
1
+
=
z
zf
разложить в ряд по степеням
(
)
1−
z
.
Решение
.
Центром
кольца
(
или
колец
),
в
которых
будет
происходить
разложение
,
должна
быть
,
согласно
условию
,
точ
-
ка
1
0
=
z
.
Особой
точкой
является
2
1
−=
z
,
лежащая
на
окружности
с
центром
0
z
радиуса
3
=
R
(
рис
. 3.3.2),
т
.
е
.
на
окруж
-
ности
31 =−
z
.
Следовательно
,
предстоит
вести
рассмотрение
для
31 <−
z
и
31 >−
z
отдельно
.
В
каждом
случае
воспользуемся
сум
-
мой
бесконечной
геометрической
прогрессии
( )
1;11
1
1
2
<+−+−+−=
+
qqqq
q
n
n
KK
.
Рис. 3.3.2
В
первом
случае
представим
( )
( )
.
3
1
1
1
3
1
13
1
−
+
=
−+
=
z
z
zf
Здесь
1
3
1
<
−
=
z
q
для
31 <−
z
;
следовательно
,
( )
(
)
( )
(
)
.
3
1
1
3
1
3
1
1
3
1
2
2
+
−
−+−
−
+
−
−= KK
n
n
n
zzz
zf
Во
втором
случае
( )
( )
1
3
1
1
1
1
31
1
−
+
−
=
+−
=
z
zz
zf
для
1
1
3
<
−
=
z
q
(
а
это
верно
при
31 >−
z
)
имеем
( )
( )
( )
( )
.
1
3
1
1
3
1
3
1
1
1
2
2
+
−
−+−
−
+
−
−
−
= KK
n
n
n
zz
zz
zf
Итак
,
(
)
( )
(
)
KK +
−
−+−
−
+
−
−=
+13
2
2
3
1
1
3
1
3
1
3
1
)(
n
n
n
zzz
zf
в
круге
31 <−
z
и
( ) ( )
( )
( )
KK +
−
−+−
−
+
−
−
−
=
+13
2
2
1
3
1
1
3
1
3
1
1
)(
n
n
n
zzz
z
zf
для
31 >−
z
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
