Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3.2.2. Пусть теперь
(
)
zf
аналитична в произвольной точке
0
z
. Её можно выбрать в качестве центра круга (достаточно
малого радиуса), в котором
(
)
zf
остаётся аналитичной, а затем разложить
(
)
zf
в ряд Тейлора (3.2.1). Говорят, что (3.2.1)
есть разложение
(
)
zf
в окрестности
0
z
.
Если
(
)
(
)
(
)
(
)
,0
0
1
00
===
′
=
−
zfzfzf
n
K
но
(
)
(
)
0
0
≠
zf
n
, то разложение
(
)
zf
в окрестности
0
z
, записанное в форме
(3.2.2) имеет вид
(
)
(
)
(
)
K+−+−=
+
+
1
010
n
n
n
n
zzCzzCzf
. (3.2.3)
В этом случае точку
0
z
называют нулем
n
-го порядка функции
(
)
zf
, а при
1
=
n
– простым нулём.
3.2.3.
Теорема
. Пусть
(
)
zf
аналитична в точке
0
z
. Эта точка является нулём
n
-го порядка для
(
)
zf
тогда и только то-
гда, когда существует аналитическая в точке
0
z
функция
(
)
z
ϕ
, такая что
(
)
0
0
≠ϕ
z
и
(
)
(
)
(
)
zzzzf
n
ϕ−=
0
. (3.2.4)
Если
0
z
– нуль
n
-го порядка, то согласно (3.2.3)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
010
K+−+−=
+
zzCCzzzf
nn
n
(3.2.5)
причём сумма
(
)
z
ϕ
степенного ряда, записанного в скобках в (3.2.5), аналитична в точке
0
z
и
(
)
0
0
≠=ϕ
n
Cz
. Теперь равен-
ство (3.2.4) установлено.
Обратно, пусть
(
)
zf
представима в виде (3.2.4), где
(
)
z
ϕ
аналитична в точке
0
z
и
(
)
0
0
≠ϕ
z
. Разложив
(
)
z
ϕ
в степенной
ряд в окрестности точки
0
z
, получим
(
)
(
)
...
~
~
010
+−+=ϕ
zzCCz
, где
0
~
0
≠
C
(так как
(
)
0
0
≠ϕ
z
) и, следовательно, в указан-
ной окрестности,
(
)
(
)
(
)
0
~
...;
~
~
0
1
0100
≠+−+−=
+
CzzCzzCzf
nn
. (3.2.6)
Значит,
(
)
zf
имеет разложение вида (3.2.3), если соответствующим образом переобозначить коэффициенты в (3.2.6). Таким
образом,
0
z
оказалась нулём
n
-го порядка для
(
)
zf
, чем и завершается доказательство теоремы.
3.3. РЯД ЛОРАНА
3.3.1. Рассмотрим ряд вида
( ) ( )
( ) ( )
KK +−+−++
−
+
−
++
−
+
−−
−
2
02010
0
1
2
0
2
0
...
zzCzzCC
zz
C
zz
C
zz
C
n
n
( ) ( )
,
00
∑
∞
−∞=
−=+−+
n
n
n
n
n
zzCzzC
K
(3.3.1)
содержащий как неотрицательные, так и отрицательные степени разности
0
zz
−
. Если (3.3.1) записать в виде
( )
( )
,
1 0
0
0
∑ ∑
∞
=
∞
=
−
−+
−
n n
n
n
n
n
zzC
zz
C
(3.3.2)
то первый из рядов можно рассматривать как степенной:
n
n
n
wC
∑
∞
=
−
1
, где
0
1
zz
w
−
=
.
В своём круге сходимости
Rw
<
его сумма есть некоторая однозначная аналитическая функция
( )
−
ϕ=ϕ
0
1
zz
w
; триви-
альный случай
0
=
R
исключим из рассмотрения. Будучи суперпозицией аналитиче-
ских функций,
−
ϕ
0
1
zz
как функция от
z
(где
0
zz
≠
) также аналитична при
R
zz
w
<
−
=
0
1
. Итак, для
R
zz
1
0
>−
, имеем:
ϕ
аналитична во "внешности" круга
(
)
10
; RzU ; не исключён и случай 0
1
=
R
(если
∞
=
R
). Точно также, второй ряд в
(3.3.2) сходится при
20
Rzz
<−
с некоторым 0
2
>
R
. Сумма этого ряда есть некоторая аналитическая в этом круге функция
(
)
z
ψ
.
Если
21
RR
<
, то существует общая область, в которой сходятся оба ряда в (3.3.2), т.е. оказывается, что (3.3.1) имеет об-
ластью сходимости некоторое кольцо с центром в точке
0
z
:
201
RzzR
<−<
(рис. 3.3.1). При этом сумма ряда
( ) ( )
z
zz
zf
ψ+
−
ϕ=
0
1
.
3.3.2. Теперь возникает обратная задача: пусть
(
)
zf
однозначна и аналитична в некотором кольце
201
RzzR
<−<
.
Можно ли её разложить в степенной ряд вида (3.3.1) и, если можно, то каковы коэффициенты этого ряда?

Страницы