Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

n
n
n
a
a
D
1
lim
+
∞→
=
или «число Коши»
n
n
n
aK
∞→
= lim
.
Формулы (2.9.5) остаются справедливыми, если
0
=
D
или
0
=
K
– тогда
∞
=
R
, т.е. областью сходимости ряда является вся
комплексная плоскость. Если же
∞
=
∞
=
KD
или
,
то
0
=
R
,
т
.
е
. «
областью
»
сходимости
является
единственная
точка
0
0
=
z
.
Докажем
,
например
,
вторую
из
формул
(2.9.5).
Согласно
признаку
Коши
,
ряд
(2.9.1)
сходится
,
если
,1lim <⋅
∞→
n
n
n
n
za
т
.
е
.
1<
Kz
, (2.9.6)
откуда
получаем
при
K
z
1
<
сходимость
ряда
(2.9.1),
а
значит
и
абсолютную
сходимость
ряда
(2.9.1).
В
то
же
время
при
K
z
1
>
расходится
не
только
ряд
из
модулей
(2.9.2),
но
и
сам
ряд
(2.9.1);
см
.
замечание
в
п
. 2.7.3.
Итак
,
именно
число
K
R
1
=
оказалось
радиусом
сходимости
согласно
определению
радиуса
.
Отметим
также
,
что
при
0
=
K
условие
(2.9.6)
выполнено
при
всех
z
(
∞
=
R
),
а
при
∞
=
K
условие
(2.9.6)
не
выполнено
при
любом
0
≠
z
;
точка
же
0
0
=
z
,
как
упоминалось
,
служит
точкой
сходимости
любого
степенного
ряда
(
0
=
R
).
Утверждение
п
. 2.9.3
полностью
доказано
.
2.9.5.
Рассмотрим
теперь
ряд
по
степеням
разности
(
)
0
zz
−
,
где
0
z
–
данное
комплексное
число
:
( ) ( ) ( )
KK +−++−+=−
∑
∞
=
n
n
n
n
n
zzCzzCCzzC
00100
0
. (2.9.7)
Если
произвести
в
(2.9.7)
замену
переменных
0
zzs
−=
,
то
из
результатов
п
. 2.9.2
будет
вытекать
,
что
областью сходимости
(2.9.7)
является некоторый круг
Rzz
<−
0
;
в
этом
круге
по
отношению
к
ряду
(2.9.7)
сохраняются
свойства
и
результаты
,
приведённые
в
п
. 2.9.3
и
2.9.4;
в
частности
,
имеют
место
формулы
для
радиуса
сходимости
(2.9.5).
2.10.
СТЕПЕННЫЕ
РЯДЫ
:
СЛУЧАЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
2.10.1.
В
настоящем
параграфе
мы
выделим
те
специфические
свойства
,
которые
присущи
степенным
ряда
в
случае
именно
действительного
аргумента
.
Рассмотрение
начнём
с
общих
свойств
равномерно
сходящихся
рядов
функций
...)2,1,=( )( nxf
n
действительного
переменного
.
Понятие
равномерной
сходимости
формулируется
применительно
к
случаю
задания
последовательности
этих
функций
на
некотором
отрезке
],[
ba
.
Если
ряд
)(
1=
xf
n
n
∑
∞
(2.10.1)
мажорируем
на
отрезке
,
то
он
обладает
равномерной сходимостью
на
этом
отрезке
.
Ряд
(2.10.1),
составленный
из
функций
,
непрерывных
на
отрезке
],[ ba
,
и
равномерно сходящийся
на
],[ ba
,
обладает
непрерывной на этом отрезке суммой и допускает возможность почленного интегрирования
по
всякому
],[],[ ba
⊂βα
.
Приведённые
утверждения
являются
частными
случаями
утверждений
,
установленных
в
п
. 2.9.2–2.9.3.
2.10.2.
Если
ряды
(2.10.1)
и
)(
1=
xf
n
n
′
∑
∞
(2.10.2)
обладают
равномерной сходимостью
на
отрезке
],[ ba
,
и
суммы
их
равны
,
соответственно
,
функциям
)(
xS
и
)(x
ϕ
, то сумма
)(
xS
ряда (2.10.1)
дифференцируема
при всех
),(
bax
∈
; пpи этом
)(=)( xxS
ϕ
′
и
).(=)(
1=
xSxf
n
n
′′
∑
∞
Чтобы доказать это утверждение, произведём почленное интегрирование (2.10.2) по некоторому отрезку
],[],[ bax
⊂α
,
что возможно в силу его равномерной сходимости. Имеем
.)(=)(
=1
dxxdxxf
x
n
x
n
ϕ
′
∫∫
∑
αα
∞
Поскольку
...,2,1,= ),()(=)( nfxfdxxf
nnn
x
α−
′
∫
α
то левая часть последнего соотношения есть разность значений суммы
)(
xS
, вычисленных в точках
и
:

Страницы