Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пусть
γ
– некоторая окружность с центром в точке
z
, целиком лежащая внутри
G
; тогда
(
)
(
)
γ∈
−
=
−
∑
∞
=
s
zs
sf
zs
sf
n
n
,
0
,
причём члены ряда аналитичны (как функции от
s
) вместе с
(
)
sf
n
. Согласно теореме 3 возможно почленное интегрирование
ряда по окружности
γ
(обход – в направлении против часовой стрелки):
( ) ( )
,
2
1
2
1
0
∫
∑
∫
γ
∞
=
γ
−π
=
−π
n
n
ds
zs
sf
izs
dssf
i
или, в силу интегральной формулы Коши,
(
)
( )
∑
∫
∞
=
γ
=
−π
0
.
2
1
n
n
zf
zs
dssf
i
Тогда сумма
(
)
zf
ряда (2.8.1) оказывается совпадающей с интегралом вида
( )
(
)
∫
γ
−π
=
zs
dssf
i
zf
2
1
.
Нетрудно доказать, что этот интеграл представляет собой аналитическую функцию в
G
, т.е.
(
)
zf
, ввиду произвольно-
сти
z
, аналитична в указанной области.
2.9. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
2.9.1. Пусть
{
}
K,2,1, =nz
n
– последовательность степенных функций;
{
}
K,1,0, =na
n
– последовательность ком-
плексных чисел.
Ряд вида
KK +++++
n
n
zazazaa
2
210
(2.9.1)
называется
степенным
; для (2.9.1) употребляем также обозначение
∑
∞
=0
n
n
n
za
.
Очевидно, что любой степенной ряд сходится в точке
0
0
=
z
, так как все его частичные суммы
(
)
00
azS
n
=
, и, следова-
тельно, предел последовательности
(
)
{
}
0
zS
n
существует и равен
0
a
. Нахождение других точек сходимости будет опираться
на следующую теорему.
Теорема Абеля
. Если степенной ряд (2.9.1) сходится в некоторой точке
0
0
≠
z
, то он абсолютно сходится в круге
(
)
{
}
00
:;0
zzzzU
<=
. Если же
0
z
′
– точка расходимости, то ряд (2.9.1) расходится при всех
z
, таких что
0
zz
′
>
.
1. Ряд из модулей для (2.9.1) имеет вид
∑
∞
=
⋅
0
n
n
n
za
. (2.9.2)
Общий член ряда (2.9.2) можно представить следующим образом:
( )
,
0
0
n
n
n
n
nn
z
z
zazazu
⋅=⋅=
(2.9.3)
где
0
0
≠
z
– точка сходимости ряда (2.9.1). Поскольку в этой точке выполнен необходимый признак сходимости, т.е.
,0lim
0
=
∞→
n
n
n
za
то для всех
n
существует постоянная
0
>
M
, такая что
Mza
n
n
≤
0
.
При условии
0
zz
<
имеем для
0
z
z
q
=
, что
.10
<
≤
q
Следовательно
,
в
силу
(2.9.3),
имеет
место
оценка
(
)
)10(0 <≤≤≤
qqMzu
n
n
,
и
ряд
KK +++++
n
MqMqMqM
2
является
сходящимся
(
сумма
бесконечно
убывающей
геометрической
прогрессии
).
По
теореме
сравнения
знакоположитель
-
ных
рядов
тогда
сходится
и
ряд
(2.9.2).
Значит
,
в
круге
(
)
0
;0 zU
ряд
(2.9.1)
сходится
абсолютно
,
что
и
утверждалось
.

Страницы