Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

|)||(|
1=
nn
n
vu
+
∑
∞
(см. простейшие свойства схoдящихся рядов, п. 2.1.3). Согласно теореме сравнения (п. 2.3.1) будем иметь сходимость
(2.7.5).
2.7.3. Как следует из результата теоремы 2, достаточные условия сходимости ряда из модулей (2.7.5) являются одно-
временно и достаточными условиями сходимости ряда комплексных чисел (2.7.4). Поэтому признаки сходимости знакопо-
ложительных рядов, которым мы выше уделили столь значительное внимание, выступают здесь признаками сходимости
(абсолютной) рядов с комплексными членами. Уточним последнюю мысль.
Пусть существуeт предел вида
n
n
n
wK
||lim=
∞→
(будем называть его числом Коши). Если
1
<
K
, то ряд (2.7.4) сходится абсолютно. Если же
1
>
K
, то ряд (2.7.4) расходит-
ся.
Стоит отметить, что при
1
>
K
ряд из модулей (2.7.5) расходится ввиду того, что не выполнен необходимый признак схо-
димости (см. доказательство теоремы 1 п. 2.4.1), но тогда не могут стремиться к нулю и члены
n
w
; таким образом и ряд (2.7.4)
оказывается расходящимся.
Аналогично обстоит дело и с «числом Даламбера»:
:
||
||
lim=
1
n
n
n
w
w
D
+
+∞→
если
1
<
D
, то ряд (2.7.4) сходится абсолютно; если же
1
>
D
, то (2.7.4) расходится.
2.8. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА
2.8.1. Пусть в области
G
задана бесконечная последовательность однозначных функций
(
)
{
}
.,2,1, K=nzu
n
Выражение
вида
( )
∑
∞
=
1
n
n
zu
(2.8.1)
называется функциональным рядом. При каждом
Gzz
∈=
0
имеем
числовой
ряд из комплексных чисел
(
)
0
zu
n
. Если полу-
чаемый числовой ряд сходится, то
0
z
называется его точкой сходимости, а если расходится – то точкой расходимости. На
множестве
GG
⊂
0
всех точек сходимости ряда (2.8.1) задана тогда функция
(
)
zSS
=
, называемая суммой ряда.
2.8.2. Привычные свойства конечных сумм функций могут не сохраняться при переходе к рядам. Положение может
быть «исправлено» требованием равномерной сходимости ряда.
Пусть
(
)
zS
есть сумма ряда (2.8.1) на замкнутой ограниченной области
G
и при каждом
n
существует наибольшее зна-
чение модуля уклонения
(
)
zS
n
от
(
)
zS
:
(
)
(
)
.,2,1,max K=−=ρ
∈
nzSzS
n
Gz
n
Если
0lim =ρ
∞→
n
n
, то ряд (2.8.1) называется равномерно сходящимся на
G
к сумме
(
)
zS
.
Теорема 1
(признак Вейерштрасса). Если существует последовательность
}{
n
α
действительных положительных чисел,
такая что для всех
...2,1,= , nGz
∈
имеют
место
оценки
nn
zu
α≤|)(|
(2.8.2)
и
ряд
n
n
α
∑
∞
1=
(2.8.3)
сходящийся
,
то
ряд
(2.8.1)
равномерно
сходится
на
G
.
При
выполнении
условий
теоремы
1
говорят
,
что
ряд
(2.8.1)
мажорируем
на
G
,
а
знакоположительный
ряд
(2.8.3)
на
-
зывается
мажорантным
.
В
этих
терминах
теорема
может
быть
сформулирована
так
:
мажорируемый на
G
функциональный
ряд сходится равномерно на
G
.
Отметим
также
(
не
приводя
здесь
соответствующих
примеров
),
что
условие
мажорируемости
является
лишь
доста
-
точным
для
равномерной
сходимости
,
но
не
является
необходимым
.
Ввиду
соотношения
(2.8.2),
выполненного
на
G
,
имеем
абсолютную
сходимость
(
на
G
)
ряда
(2.8.1)
к
некоторой
сумме
)(
zS
;
при
этом
),(=)()(
zrzSzS
nn
−
где
)(
zr
n
–
сумма
ряда
-
остатка
;
см
. (2.1.11).
По
определению
суммы
ряда
и
ввиду
сохранения
для
функций
комплексного
переменного
привычных
свойств
пределов
(
предельный
переход
под
знаком
модуля
и
предельный
переход
в
неравенстве
)
имеем

Страницы