Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

dxxaadxxaaS
n
n
)(<)(<
1
1
1
1
∫∫
∞
++
получаем ограниченность последовательности частичных сумм, а значит (на основании леммы п. 2.3.1) и её сходимость. В
случае же расходимости несобственного интеграла и оценки (2.5.3) имеем неограниченность
1−
n
S
, и, следовательно, расхо-
димость ряда (2.3.1).
Итак, ряд ведёт себя так же, как несобственный интеграл (2.5.1), что и требовалось доказать.
2.5.2. Рассмотрим обобщенный гармонический ряд (называемый также рядом Дирихле)
. ,
1
0=
R∈
∑
∞
p
n
p
n
(2.5.4)
Докажем, что ряд сходится при
1>
p
и
расходится
при
остальных
действительных
значениях
p
.
Начнём
со
случая
1 0,>
≠
pp
и
применим
интегральный
признак
Коши
.
Заменяя
в
записи
общего
члена
ряда
n
на
x
,
получим
функцию
)[1, ,
1
=)( ∞∈
x
x
xa
p
.
Ясно
,
что
на
указанном
промежутке
функция
)(
xa
непрерывна
и
убывает
.
Иссле
-
дуем
теперь
несобственный
интеграл
(2.5.1).
Если
1>
p
,
то
=
1
=)(
11
dx
x
dxxa
p
∫∫
∞∞
.
1
1
=1
1
lim
1
1
=
1
lim=lim=
1
1
1
1
−
−
−−
−
∞→
−
∞→
−
∞→
∫
p
T
pp
x
dxx
p
T
T
p
T
p
T
T
Итак
,
исследуемый
интеграл
оказался
сходящимся
,
откуда
и
следует
сходимость
ряда
(2.5.4).
Если
1<<0
p
,
то
тот
же
интеграл
вычисляется
в
виде
,=1)(lim
1
1
=)(
1
1
∞−
−
−
∞→
∞
∫
p
T
T
p
dxxa
откуда
следует
расходимость
ряда
(3.5.4).
В
случае
1=
p
снова
применяем
интегральный
признак
Коши
с
x
xa
1
=)(
:
==)(
11
x
dx
dxxa
∫∫
∞∞
,=lnlim=lnlim=
1
∞
∞→∞→
Tx
T
T
T
так
что
ряд
(2.5.4)
расходится
;
тем
самым
ещё
раз
установлена
расходимость
гармонического
ряда
.
Наконец
,
при
0
≤
p
имеем
1= ≥
−
p
n
na
,
так
что
общий
член
ряда
не
стремится
к
нулю
,
а
тогда
(2.5.4)
расходится
по
достаточному
признаку
расходимости
ряда
.
Замечание
.
Если
к
гармоническому
ряду
применить
признаки
Коши
и
Даламбера
,
то
,
как
нетрудно
проверить
,
получит
-
ся
соответственно
1
=
K
и
1
=
D
.
В
то
же
время
условия
1
=
K
и
1
=
D
выполняются
и
для
членов
сходящегося
(
1>
p
)
ряд
a
Дирихле
.
Приведённые
примеры
подтверждают
ранее
сделанный
вывод
,
что
по
одной
только
информации
вида
1
=
K
и
1
=
D
о
поведении
ряда
судить
нельзя
;
следует
провести
дополнительное
исследование
:
например
,
применить
другие
при
-
знаки
.
2.6.
ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ
РЯДЫ
2.6.1.
Рассмотрим
знакоположительную
последовательность
....2,1,= 0,> , },{ naaa
nnn
R∈
(2.6.1)
P
яд
вида
n
n
n
n
n
aaaaa
1
1=
1
321
1)(=...1)(...
−
∞
−
−+−+−+−
∑
(2.6.2)
называется
знакочередующимся
.
Достаточным
признаком
его
сходимости
является
следующий
признак
Лейбница
.
Теорема
.
Если
последовательность
(2.6.1)
является
убывающей
,
т
.
е
.
......
21
>>>>
n
aaa
(2.6.3)
и
0,=lim
n
n
a
∞→
(2.6.4)
то
знакочередующийся
ряд
(2.6.2)
сходится
и
его
сумма
S
удовлетворяет
условиям
1
0
uS
≤≤
. (2.6.5)
Пусть
...3,2,1,= ,
nS
n
–
последовательность
частичных
сумм
ряда
(2.6.2).
Сходимость
ряда
означает
существование
такого
числа
S
,
что
SS
n
n
=lim
∞→
. (2.6.6)

Страницы