Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Тогда ряды (2.3.2) и (2.3.3) сходятся или расходятся одновременно.
Согласно (2.3.6) и определению предела, для каждого
ε
,
такого что
L
<
ε
<
0
существует номер
N
, такой что нера-
венство
ε− |<|
L
b
a
n
n
имеет место при всех
Nn
>
. Из последнего соотношения (при указанных
n
) вытекает, что
ε−ε− <<
L
b
a
n
n
или, одновременно,
nnnn
a
L
bbLa
ε−
ε+
1
< ,)(<
. (2.3.7)
Согласно выбору
ε
имеют место оценки
0>
ε
+
L
и
0>
ε
−
L
. Tогда, согласно свойствам п. 2.1.3, ряд с общим членом
)(/ ε−
La
n
ведёт себя так же, как (2.3.2), а ряд с членами
n
bL
)( ε+
– как (2.3.3). Теперь, в силу теоремы 1 и замечанию к ней,
первое неравенство в (2.3.7) будет означать, что из сходимости (2.3.3) вытекает сходимость (2.3.2), а из расходимости (2.3.2)
– расходимость (2.3.3). Аналогичные утверждения следует из второго неравенства в (2.3.7), если «поменять ролями» (2.3.2)
и (2.3.3). Таким образом, поведение рядов (3.3.2) и (3.3.3) – одинаково, что и утверждалось.
2.3.4. Использование признаков сравнения знакоположительных рядов предполагает наличие некоторого эталона для
сравнения. Было бы полезно дополнить список признаков такими, которые позволяли бы исследовать поведение ряда, исхо-
дя лишь из вида его общего члена. Такие признаки предлагаются в следующих параграфах.
2.4. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ:
ПРИЗНАКИ КОШИ И ДАЛАМБЕРА
2.4.1. Пусть дан знакоположительный ряд (2.3.1).
Теорема
(радикальный признак Коши). Пусть существует предел вида
n
n
n
aK
∞→
lim=
. (2.4.1)
Если
1
<
K
, то ряд (2.3.1) сходится; если же
1
>
K
, то ряд расходится.
Замечание
. В случае
1
=
K
признак Коши не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда: существуют примеры как сходя-
щихся, так и расходящихся рядов, для которых
1
=
K
.
Согласно (2.4.1) и определению предела, для каждого
0>
ε
существует номер
N
, такой что неравенство
ε− |<|
Ka
n
n
имеет место при всех
Nn
>
. Из последнего соотношения (при указанных
n
) вытекает, что
ε+ε−
KaK
n
n
<<
. (2.4.2)
Случай 1:
1
<
K
. Ввиду произвольности выбора
ε
положим
K
−
ε
1<<0
и обозначим
ε
+
Kq
=
,
так
что
1<<0
q
.
Из
(2.4.2)
вытекает
тогда
,
что
n
n
Ka
)(< ε+
или
n
n
qa
<
при
всех
Nn
>
.
Поскольку
сумма
членов
геометрической
прогрессии
n
Nn
q
∑
∞
+1=
является
сходящимся
рядом
,
то
по
первой
теореме
сравнения
(
см
.
также
замечание
к
ней
)
сходится
и
ряд
(2.3.1).
Случай
2:
1
>
K
.
В
этом
случае
выберем
ε
так
,
что
1<<0
−
ε
K
и
обозначим
ε
−
KQ
=
,
так
что
1>
Q
.
Из
(2.4.2)
вытека
-
ет
тогда
,
что
n
n
Ka
)(> ε−
или
n
n
Qa
>
при
всех
n
,
начиная
с
некоторого
номера
N
.
Но
в
этом
случае
члены
ряда
(2.3.1)
не
могут
стремиться
к
нулю
и
ряд
расходится
по
достаточному
признаку
расходимости
.
Теорема
полностью
доказана
.
2.4.2.
Теорема
(
признак
Даламбера
).
Пусть
существует
предел
вида
n
n
n
a
a
D
1
lim=
+
∞→
. (2.4.3)
Если
1
<
D
,
то
ряд
(2.3.1)
сходится
;
если
же
1
>
D
,
то
ряд
расходится
.
Замечание
.
В
случае
1
=
D
(
подобно
признаку
Коши
)
теорема
2
не
даёт
ответа
на
вопрос
о
сходимости
ряда
.
Доказательство
мы
не
приводим
,
но
его
идея
та
же
,
что
и
в
случае
теоремы
1.
Отметим
только
(
это
потребуется
в
даль
-
нейшем
),
что
при
1
>
D
расходимость
ряда
имеет
место
на
основании
достаточного
признака
расходимости
(c
м
.
доказатель
-
ство
признака
Коши
).
Пример
.
Исследовать
сходимость
ряда
.

Страницы