Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Докажем, что
ряд
(2.1.1)
сходится тогда и только тогда
,
когда сходится каждый его ряд-остаток
(2.1.8). Другими слова-
ми, установим, что
отбрасывание или добавление конечного числа
(
первых
)
членов не влияет на сходимость данного ряда
.
Действительно, при
Nn
>
частичная сумма ряда (2.1.1) есть
,=......=
,11 nNNnNNn
SSwwwwS ++++++
+
(2.1.10)
откуда следует, что
n
S
и
nN
S
,
отличаются на фиксированную величину
N
S
, а значит одновременно имеют или не имеют
предел при
∞
→
n
. Итак, ряды (2.1.1) и (2.1.8) сходятся или расходятся одновременно.
Заметим также, что путём предельного перехода при
∞
→
n
в соотношении (2.1.10) получается равенство
,=
NN
RSS
+
N
= 1, 2, … . (2.1.11)
Установим также следующее свойство остатка: если
1).1.(2
является
сходящимся
,
то
0.=lim
N
N
R
∞→
Действительно
,
если
N
R
сумма
N
-
го
остатка
(
см
. (2.1.9)),
то
,
устремляя
∞
→
N
в
(2.1.11),
имеем
стремление
к
нулю
последовательности
N
R
,
что
и
утверждалось
.
2.2.
НЕОБХОДИМЫЙ
ПРИЗНАК
СХОДИМОСТИ
РЯДА
.
СУММА
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ПРОГРЕССИИ
2.2.1.
Теорема
(
необходимый
признак
сходимости
ряда
).
Если
ряд
(2.1.1)
сходится
,
то
существует
предел
(
при
∞
→
n
)
его
общего
члена
n
w
,
причём
0.=lim
n
n
w
∞→
(2.2.1)
Обратное
утверждение
неверно
.
Так
как
,
очевидно
,
соотношение
n
n
SS
∞→
= lim
может
быть
записано
и
в
виде
1
lim
−
∞→
=
n
n
SS
,
то
,
вычисляя
для
1−
−=
nnn
SSw
предел
разности
,
имеем
(
)
0limlimlimlim
11
=−=−=−=
−
∞→∞→
−
∞→∞←
SSSSSSw
n
n
n
n
nn
n
n
n
,
что
и
требовалось
установить
.
Ряд
с
общим
членом
0
1
i
n
w
n
+=
является
известным
нам
расходящимся
гармоническим
рядом
(
см
.
п
. 2.1.2),
и
для
таких
n
w
выполнено
соотношение
(2.2.1).
Значит
утверждение
,
обратное
сформулированному
в
теореме
,
неверно
.
Следствие
(
достаточный
признак
расходимости
).
Если
0lim ≠
∞→
n
n
w
(2.2.2)
(
или
если
предел
не
существует
),
то
ряд
расходится
.
Действительно
,
в
противном
случае
мы
имели
бы
существование
и
равенство
нулю
предела
вида
(2.2.1),
откуда
бы
сле
-
довало
,
что
0→
n
w
,
что
противоречит
условию
(2.2.2).
2.2.2. Пусть
a
и
q
–
ненулевые
комплексные
числа
.
Рассмотрим
бесконечную
геометрическую
прогрессию
...,,, ..., , ,
2 n
aqaqaqa
ряд
,
составленный
из
её
членов
n
n
n
aqaqaqaqa
∑
∞
+++++
0=
2
=......
(2.2.3)
и
ис
c
ледуем
его
сходимость
.
Случай
1:
1|| ≥q
;
в
этом
случае
||||||=|| aqaaq
nn
≥⋅
.
Могут
представиться
две
возможности
:
либо
||lim
n
n
aq
∞→
не
существует
,
либо
он
существует
и
согласно
неравенству
1||
≥
q
его
значение
не
меньше
числа
0|>|
a
.
В
обоих
случаях
,
по
достаточному
признаку
расходимости
ряда
,
получаем
,
что
(2.2.3)
расходится
.
Случай
2:
1|<|
q
;
в
этом
случае
n
-
я
частичная
сумма
ряда
(2.2.3)
имеет
вид
q
qa
S
n
n
−
−
1
)(1
=
(
формула
суммы
первых
членов
геометрической
прогрессии
известна
из
школьного
курса
,
причём
её
доказательство
сохра
-

Страницы