Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1.6. ФОРМУЛА КОШИ
1.6.1. Пусть функция
(
)
zf
однозначна и аналитична в области
G
,
L
– контур (удовлетворяющий условиям п. 1.5.1), ог-
раничивающий односвязную область
D
, целиком лежащий в
G
и обходимый против часовой стрелки. Тогда для любой точки
0
z
, лежащей в
D
(т.е. расположенной внутри
L
) имеет место следующая интегральная формула:
( )
(
)
∫
−π
=
L
zz
dzzf
i
zf
.
2
1
0
0
(1.6.1)
Для любого
0
>
ε
выберем в
D
окружность
ϕ
ρ+=
i
ezz
0
(рис. 1.6.1) столь малого радиуса ρ, чтобы
(
)
(
)
ε<−
0
zfzf
; (1.6.2)
это возможно, так как
(
)
zf
, будучи аналитической, является и непрерывной в
D
. Обозначим через γ
указанную окружность, выберем на ней направление обхода против часовой стрелки и заметим, что
∫
γ
=
−π
1
2
1
0
zz
dz
i
(1.6.3)
согласно примеру п. 1.4.4. Теперь по теореме Коши для двухсвязной области имеем
(
)
(
)
∫ ∫
γ
−
=
−
L
zz
dzzf
zz
dzzf
.
00
(1.6.4)
Указанная теорема применима, поскольку
( )
(
)
0
zz
zf
z
−
=ϕ
аналитична вместе с
(
)
zf
в области
D
, из которой исключена точка
0
z
,
так что, в частности,
(
)
z
ϕ
аналитична в области между контурами γ и
L
и на самих этих контурах.
Оценим разность между интегралом (1.6.1) и
(
)
0
zf
, воспользовавшись (1.6.3) и (1.6.4):
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
.
2
1
2
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
0
∫
∫ ∫∫
γ
γ γ
−
−
π
=
=
−π
−
−π
=−
−π
dz
zz
zfzf
i
zz
dz
i
zf
zz
dzzf
i
zf
zz
dzzf
i
L
(1.6.5)
Оценивая модуль интеграла (см. п. 1.4.2), имеем правую часть (1.6.5) не превосходящей
,2
2
1
ε=π
ρ
ε
π
p
i
в силу неравенства (1.6.2) и соотношения
ρ=−
0
zz
на окружности γ. Теперь, в силу произвольности ε, имеем левую часть
полученного неравенства
( )
( )
ε<−
−π
∫
L
zf
zz
dzzf
i
0
0
2
1
равной нулю.
1.6.2. В предположениях п. 1.6.1 в любой точке
0
z
производная
(
)
zf
′
также оказывается аналитической функцией и
имеет место формула
( )
(
)
( )
∫
−
π
=
′
L
zz
dzzf
i
zf
.
2
1
2
0
0
Вообще, для любого
n
в каждой точке
Dz
∈
0
существует производная
(
)
(
)
0
zf
n
и для неё справедливо соотношение
( )
( )
(
)
( )
dz
zz
zf
i
n
zf
L
n
n
∫
+
−
π
=
1
0
0
2
!
. (1.6.6)
Формулу (1.6.6) можно получить формально дифференцированием по
0
z
соотношения (1.6.1)
n
раз под знаком интеграла.
Рис. 1.6.1

Страницы