Элементы прикладной математики. Куликов Г.М - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

главное значение логарифма
ziznzn arg+= ll
.
В основу определения показательной функции положим известное (для действительного переменного) свойство
(
)
0, >== aeea
anx
x
anx ll
.
Положим по определению для
любых комплексных
0
≠
a
и
z
azz
ea
Ln
=
.
Эта функция также оказывается многозначной в силу многозначности логарифма.
Обратные тригонометрические функции определяются как функции, обратные по отношению к синусу, косинусу, тан-
генсу, котангенсу. Они также оказываются многозначными; формулы для вычисления их значений читатель может найти в
более подробных курсах.
1.2.3. Определение предела последовательности комплексных чисел вводится так же, как в случае последовательности
действительных чисел: число (комплексное)
A
называется пределом последовательности
}{
n
w
, если для любого
0>
ε
най-
дётся такой номер
N
, что
ε− |<| Aw
n
для всех номеров
Nn
>
; применяют обозначение
Аw
n
n
=lim
∞→
.
Описанное «предельное поведение» последовательности
}{
n
w
равносильно, очевидно, выполнению соотношения
0|=|lim
Aw
n
n
−
∞→
. (1.2.2)
В свою очередь, если
nnn
ivuw
+=
(т.е.
n
u
и
n
v
– соответственно, действительная и мнимая части
n
w
) и
ibaA
+
=
, то
(1.2.2) равносильно одновременному выполнению соотношений
au
n
n
=lim
∞→
и
bv
n
n
=lim
∞→
.
Это утверждение очевидным образом вытекает из оценки (см. (1.1.2))
|=|)()(|}||,{|max
22
Awbvaubvau
nnnnn
−−+−≤−−
.
Говорят, также, что последовательность
n
w
имеет бесконечный предел, и записывают
∞=
∞→
n
n
w
lim
,
если
+∞=
∞→
n
n
w
lim
.
1.2.4. Пусть функция
(
)
zfw
=
определена в окрестности точки
0
z
(т.е. в некотором круге с центром в
0
z
). Говорят, что
число
0
w
есть предел функции в этой точке, если
(
)
0lim
0
0
0
=−
→−
wzf
zz
. (1.2.3)
Предельный переход вида (1.2.3) равносилен тому, что одновременно
(
)
(
)
.,lim,,lim
00
0
0
0
0
vyxvuyxu
yy
xx
yy
xx
==
→
→
→
→
Другими словами, предельный переход совершается по отдельности в действительной и мнимой части функции
(
)
zfw
=
.
Отсюда вытекает, что простейшие свойства пределов (вынесение постоянного множителя за знак предела, предельный переход
в сумме, произведении и т.п.) переносятся и на случай функций комплексного переменного.
В теории функций комплексного переменного вводятся также определения предела функции на бесконечности и опре-
деление бесконечного предела, на которых мы здесь не останавливаемся.
1.2.5. Функция
(
)
zf
называется непрерывной в точке
0
z
, внутренней для области определения
G
, если
(
)
(
)
.lim
0
0
zfzf
zz
=
→
(1.2.4)
Другими словами, непрерывность в точке
0
z
есть возможность предельного перехода под знаком функции при
0
zz
→
.
Согласно п. 1.2.3 для
(
)
(
)
(
)
yxviyxuzf ,, +=
непрерывность в точке
000
yixz
+=
означает непрерывность действи-
тельной части
u
и мнимой части
v
как функций от
x
и
y
.
Как в случае функций действительного переменного, определению (1.2.4) можно придать иную форму. Если обозначить
0
zzz
−=∆
,
(
)
(
)
0
zfzfw
−=∆
, то непрерывность функции
f
в точке
0
z
означает, что
,0lim
0
=∆
→∆
w
z
т.е. бесконечно – малому приращению аргумента (в точке
0
z
) соответствует бесконечно малое приращение функции
f
.

Страницы