Неклассическая логика. Купарашвили М.Д. - 32 стр.

тельства зависит от двух условий: содержание аргументов долж-      ка», «прямая» и «плоскость». Это позволило систематизировать
но быть верным и форма доказательства не должна иметь по-          совокупность геометрического знания. После евклидову аксиома-
грешностей.                                                        тику осовременил Д. Гильберт и исходными сделал термины
      3
        Дж. Буль (1815–1864). Англ. математик и логик. Осново-     «точка», «прямая», «плоскость», «инцидентно», «между» и «кон-
положник математической логики. Буль предпринимал попытки          груэнтно».
математической обработки дедуктивной части аристотелевской               Логическим аналогом применения аксиоматического мето-
логики. Исходной точкой его алгебры выступает аналогия между       да может послужить, к примеру, следующее построение исчисле-
алгеброй и логикой. Его современная алгебра занималась реше-       ния высказывания. В качестве исходных терминов, символов-
нием уравнений. Скорее исходя из этого Буль решил, что цен-        связок берутся такие знаки, как: А,В,С…, (),→,┐. Это означает,
тральной проблемой логики также должна стать проблема о ре-        что какое бы значение ни вкладывалось в формулы А, В, С, сле-
шении логических уравнений относительно неизвестных терми-         дующие формулы являются аксиомами:
нов. Решение данной задачи равносильно требованию сводить их             (А→(В→А)
к наивозможно более простому виду. По мнению Буля, наиболее              ((А→(В→С))→((А→В)→(А→С)))
общая проблема логики задается следующим образом: дано неко-             (┐В→ ┐А) →(((┐В→ А)→В))
торое уравнение, которое содержит символы x, y, z, w; требуется          В них в качестве правила вывода взято modus ponens.
найти логическое отношение класса, обозначенного через w, к              После с помощью известных преобразований вводятся все
классам, обозначенным через x, y, z. Исходное уравнение Буль       следующие определения:
сначала решает по правилам элементарной алгебры, а затем полу-           ┐(А→ ┐В)≡ (А٨В)
ченный результат толкует с помощью вводимых им специальных               (┐А) →В)≡ (А٧В)
правил интерпретации.                                                    (А→В) ٨(В→А) ≡(А≡В)
      4
        Аксиоматический метод. Аксиоматика – это способ по-              Считается, что аксиоматический метод облегчает организа-
строения какой-либо науки или ее раздела, когда из всех истин-     цию и систематизацию научного знания. Кроме того, он исполь-
ных утверждений избирается некоторое конечное их подмноже-         зуется в качестве средства отыскивания новых математических
ство и кладется в основу в качестве исходных аксиом, из которых    закономерностей. Существенными качествами аксиоматического
после, путем логических умозаключений, выводятся все осталь-       метода являются его непротиворечивость, независимость и часто
ные истинные утверждения взятого раздела или в целом данной        полнота создаваемой системы аксиом.
                                                                         5
науки.                                                                     Теория типов Б. Рассела. Данная теория должна была
      Таким образом, первым шагом аксиоматического метода          устранить возможность появления парадоксов в теории множеств.
выступает принятие некоторой совокупности первичных терми-         В книге «Принципы математики», которая вышла в соавторстве с
нов, которые не определяются. После на их основе формулируют-      Уайтхедом, Рассел предложил разработанную им теорию типов.
ся некоторые аксиомы, которые описывают свойства первичных               Суть теории: в иерархии типов Рассел установил строго со-
операций и отношений. А из них логическим путем выводятся          блюдающееся правило подставки (в классическом виде правило
теоремы аксиоматической теории.                                    подставки: вместо любой буквы в формуле можно подставить
      В рамках математики аксиоматико-дедуктивный метод            любую формулу всюду, где это буква встречается в данной фор-
приобретает известность и популярность, начиная с Евклида, при-    муле. К примеру, А→(В٧А) вместо А можно подставить (А٧В) и
близительно в 330–320 гг. до н.э. Евклид в своих «Началах» в ка-   получить: (А٧В) →[В٧(А٧В)]. Если формула, в которой произво-
честве первичных неопределенных терминов взял понятия «точ-        дится подставка, истинна, то и полученная формула также будет

                              63                                                                 64