Неклассическая логика. Купарашвили М.Д. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

65
истинной). С расселовской поправкой же в запись следующей
функции «А – студент» вместо А разрешается подставлять только
имена индивидуальных объектов из нулевого типа. Если подста-
вить объект из более высокого типа, то получится бессмыслица:
«общество – студент».
6
Аксиомы арифметики.
Это те аксиомы, которые лежат в основе теории чисел: ак-
сиомы равенства, Пиано и определяющие функцию сумма х+у.
Аксиомы равенства:
(х=у) → (х=z→у=z);
Рефлексивность
∀
х(х=х) (для всех х имеет место, что х рав-
но х);
Симметричность
∀
х,
∀
y(х=у → у=х) (для всякого х и для
всякого у имеет место, что если х равно у, то у равно х);
Транзитивность
∀
х,
∀
y
∀
z (х=у٨ у=х) →(х=z).
Аксиомы Пиано:
┐ (Sx=0) (неверно, что следующий за х равно нулю).
(Sx=Sy) →(x=y) (если следующий за х равно следующему
за у, то х равно у).
(x=y) → (Sx=Sy) (если х равно у, то следующий за х равно
следующему за у).
Аксиомы, определяющие функцию сумма х+у.
х+0=х
х+= Sy = S (x+у)
из них выводят:
0+0=0
0+ Sx= S(0+х)
∀
х ┐(х+1=1) (для всех х не имеет место, что х плюс едини-
ца равно единице).
∀
х,
∀
y (х+у= у+х)
∀
х,
∀
y
∀
z [(х+у)+ z=х+(у+z)]
Аксиомы, определяющие функции произведения х
·
у:
х
·
0=0 (х раз нуль равно нулю)
х
·
Sу=(х
·
у)+х (х раз следующий за у равно х раз у плюс х).
66
7
Примером может послужить система топологической ло-
гики, предложенная Х.А. Весселем:
0, если х=n
┐х =
n, если х < n
0, если х≥n
х→у =
у, если х <у
х, если х<у
х٧у =
у, если х ≥у
х, если х ≥у
х٨у =
у, если х<у
0, если х =у
х≡у = у, если у>х
х, если у<х
8
Некоторые из 26 наиболее основных правил логического
следования, принятых в топологической логике:
– правила следствия для отрицания
х G у ╞ ┐х G ┐у, что читается так: если отношение между х и
у равноистинно, то равноистинно и отношение между не-х и не-у.
х
1
W х
2
╞ ┐(┐х
1
W ┐х
2
), т. е. если х
1
менее истинно, чем х
2
, то
не верно, что не-х
1
менее истинно, чем не-х
2
.
– правила следования для дизъюнкции
х
1
W х
2
╞ (х
1
Vх
2
) Gх
2
х
1
G х
2
╞ (х
1
Vх
2
) Gх
2
– правила следования для конъюнкции
х
1
W х
2
╞ (х
1
Λх
2
) Gх
1
х
1
G х
2
╞ (х
1
Λх
2
) Gх
1
– правила следования для импликации
х
1
G у
1
, х
2
G у
2
╞ х
1
→ у
1
Gх
2
→ у
2 
                                                                            7
истинной). С расселовской поправкой же в запись следующей                    Примером может послужить система топологической ло-
функции «А – студент» вместо А разрешается подставлять только         гики, предложенная Х.А. Весселем:
имена индивидуальных объектов из нулевого типа. Если подста-                         0, если х=n
вить объект из более высокого типа, то получится бессмыслица:               ┐х =
«общество – студент».                                                                n, если х < n
      6
        Аксиомы арифметики.
      Это те аксиомы, которые лежат в основе теории чисел: ак-                         0, если х≥n
сиомы равенства, Пиано и определяющие функцию сумма х+у.                    х→у =
         Аксиомы равенства:                                                            у, если х <у
         (х=у) → (х=z→у=z);
         Рефлексивность ∀х(х=х) (для всех х имеет место, что х рав-                    х, если х<у
но х);                                                                      х٧у =
      Симметричность ∀х,∀y(х=у → у=х) (для всякого х и для                             у, если х ≥у
всякого у имеет место, что если х равно у, то у равно х);
      Транзитивность ∀х,∀y∀z (х=у٨ у=х) →(х=z).                                        х, если х ≥у
                                                                            х٨у =
       Аксиомы Пиано:                                                                  у, если х<у
       ┐ (Sx=0) (неверно, что следующий за х равно нулю).
        (Sx=Sy) →(x=y) (если следующий за х равно следующему                              0, если х =у
за у, то х равно у).                                                        х≡у = у,      если у>х
        (x=y) → (Sx=Sy) (если х равно у, то следующий за х равно                          х, если у<х
следующему за у).                                                           8
                                                                              Некоторые из 26 наиболее основных правил логического
      Аксиомы, определяющие функцию сумма х+у.                        следования, принятых в топологической логике:
      х+0=х                                                                 – правила следствия для отрицания
      х+= Sy = S (x+у)                                                      х G у ╞ ┐х G ┐у, что читается так: если отношение между х и
      из них выводят:                                                 у равноистинно, то равноистинно и отношение между не-х и не-у.
      0+0=0                                                                 х1 W х2╞ ┐(┐х1 W ┐х2), т. е. если х1 менее истинно, чем х2, то
      0+ Sx= S(0+х)                                                   не верно, что не-х1 менее истинно, чем не-х2.
      ∀х ┐(х+1=1) (для всех х не имеет место, что х плюс едини-             – правила следования для дизъюнкции
ца равно единице).                                                           х1 W х2╞ (х1 Vх2) Gх2
      ∀х,∀y (х+у= у+х)                                                       х1 G х2 ╞ (х1 Vх2) Gх2
      ∀х,∀y∀z [(х+у)+ z=х+(у+z)]                                            – правила следования для конъюнкции
      Аксиомы, определяющие функции произведения х·у:                        х1 W х2╞ (х1 Λх2) Gх1
      х·0=0 (х раз нуль равно нулю)                                          х1 G х2 ╞ (х1 Λх2) Gх1
      х·Sу=(х·у)+х (х раз следующий за у равно х раз у плюс х).             – правила следования для импликации
                                                                             х1 G у1 , х2 G у2 ╞ х1 → у1 Gх2→ у2

                                  65                                                                  66

Страницы