Математика. Курзина В.М - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

130
фициенты при
0
x
, т.е. свободные члены. Имеем D
C
B
A
−+
−
=
3331 или
32
5
32
5
2
1
3313 +⋅+⋅+−=B , откуда
8
3
=
B .
Окончательно разложение данной дроби на простейшие имеет вид
)3(32
5
)1(32
5
)1(8
3
)1(2
1
)3()1(
1
233
2
+
−
−
+
−
+
−
=
+−
+
xx
xxxx
x
.
Таким образом, вместо исходного сложного интеграла получим че-
тыре интеграла
∫∫∫∫∫
+
−
−
+
−
+
−
=
+−
+
332
5
132
5
)1(
8
3
)1(
2
1
)3()1(
1
233
2
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
dx
xx
x
.
После интегрирования получаем окончательный результат
C
x
x
x
x
dx
xx
x
+
+
−
+
−
−
−
−=
+−
+
∫
3
1
ln
32
5
)1(8
3
)1(4
1
)3()1(
1
23
2
.
Пример 4.8. Найти интеграл
∫
+
+
56
24
x
x
xdx
.
Решение. Преобразуем знаменатель:
.4)3(56
2224
−+=++ xxx Сле-
довательно
.
4)3(56
2224
∫∫
−+
=
++ x
xdx
xx
xdx
Сделаем замену
t
x
=+ 3
2
, тогда d
t
dx
=
2 и
=+
+
−
⋅=
−
=
−+
=
++
∫∫∫
C
t
t
t
dt
x
xdx
xx
xdx
2
2
ln
4
1
2
1
4
2
1
4)3(56
22224
.
5
1
ln
8
1
2
2
C
x
x
+
+
+
=
Упражнения
Вычислить интегралы:
1.
∫
−−
−
dx
xx
x
)2)(1(
12
. 2.
∫
−−
+
dx
xx
x
152
1
2
. 3.
∫
+−
dx
xx
x
106
2
2
. 4.
∫
−
dx
x
x
3
2
)1(
.
5.
∫
−− 2
2
xx
dx
. 6.
∫
− xx
dx
5
2
. 7.
∫
+− 52
2
xx
dx
. 8.
∫
− xx
dx
3
. 
                                                       130

фициенты при x 0 , т.е. свободные члены. Имеем 1 = 3 A − 3B + 3C − D или
3B = −1 + 3 ⋅ 12 + 3 ⋅ 325 + 325 , откуда B = 83 .
       Окончательно разложение данной дроби на простейшие имеет вид
                       x2 + 1            1           3          5          5
                                     =          +          +          −           .
                 ( x − 1) 3 ( x + 3) 2( x − 1) 3 8(1 − x) 2 32( x − 1) 32( x + 3)
      Таким образом, вместо исходного сложного интеграла получим че-
тыре интеграла
                       x2 + 1             1       dx       3       dx        5 dx         5 dx
               ∫ ( x − 1) 3 ( x + 3) dx = 2 ∫ ( x − 1) 3 + 8 ∫ ( x − 1) 2 + 32 ∫ x − 1 − 32 ∫ x + 3 .
После интегрирования получаем окончательный результат
                      x2 + 1                    1            3        5    x −1
              ∫ ( x − 1) 3 ( x + 3) dx = − 4( x − 1) 2 − 8( x − 1) + 32 ln x + 3 + C .
                                                          xdx
          Пример 4.8. Найти интеграл                ∫ x4 + 6x2 + 5 .
     Решение. Преобразуем знаменатель: x 4 + 6 x 2 + 5 = ( x 2 + 3) 2 − 4. Сле-
довательно
                              xdx                 xdx
                       ∫ x 4 + 6 x 2 + 5 ∫ ( x 2 + 3) 2 − 4.
                                        =


          Сделаем замену x 2 + 3 = t , тогда 2 xdx = dt и

                         xdx                 xdx        1     dt    1 1 t−2
                  ∫ x 4 + 6 x 2 + 5 ∫ ( x 2 + 3) 2 − 4 2 ∫ t 2 − 4 2 ⋅ 4 ln t + 2 + C =
                                   =                  =           =


                    1 x2 + 1
                   = ln 2    + C.
                    8 x +5

                                                Упражнения
        Вычислить интегралы:
          2x − 1                     x +1                      x2                     x2
1. ∫
     ( x − 1)( x − 2)
                      dx . 2. ∫ x 2 − 2 x − 15 dx . 3. ∫ x 2 − 6 x + 10 dx . 4. ∫ ( x − 1)3 dx .
              dx                           dx                           dx                     dx
5.   ∫x   2
              −x−2
                   .         6.   ∫x   2
                                           − 5x
                                                .        7.   ∫x   2
                                                                       − 2x + 5
                                                                                .    8.   ∫x   3
                                                                                                −x
                                                                                                   .

Страницы