Математика. Курзина В.М - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

132
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
dx
dcx
bax
dcx
bax
xR ,...,,
βα
,
где
α
,
β
, ... – рациональные числа, a , b , c , d – постоянные действитель-
ные числа, приводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью
подстановок соответственно
k
t
bax
=
+
или
k
t
dcx
bax
=
+
+
.
Пример 4.9. Вычислить интеграл
∫
+
+
dx
xx
x
4
1
.
Решение. Здесь показатели степени переменной x равны 1,
2
1
,
4
1
.
Общий знаменатель этих дробей 4, поэтому следует применить замену пе-
ременной
4
t
x
= , d
t
t
dx
3
4= , приходим к интегралу от рациональной дроби
=
+
+
+
=
+
+
=⋅
+
+
=
+
+
∫∫∫∫∫
2
2
22
2
3
24
4
1
4
1
4
1
44
11
t
dtt
t
tdt
dx
t
tt
dtt
tt
t
dx
xx
x
=
+
−++=
+
−+
+
+
=
∫∫∫∫
2
2
2
2
2
1
44)1ln(2
1
11
4
1
2
2
4
t
dt
dttdt
t
t
t
tdt
=++++= Cttt arctg44)1ln(2
2
Cxxx +−++
44
arctg44)1ln(2
.
В интеграле
∫
+1
2
2
t
dtt
для выделения целой части неправильной рацио-
нальной дроби прибавили и вычли в числителе 1.
Пример 4.10. Вычислить интеграл
∫
+
dx
x
x
x
11
2
.
Решение. Применим подстановку
2
1
t
x
x
=
+
. Выразим отсюда
x
:
1
1
2
−
=
t
x .Находим дифференциал
22
)1(
2
−
−
=
t
tdt
dx . Подставляя найденные
выражения в исходный интеграл, получаем ответ
=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⋅−=
+
∫∫∫
dtt
t
tdt
ttdx
x
x
x
2
22
22
2
2
)1(
2
)1(
11
C
x
x
Ct +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−=+−=
3
3
1
3
2
3
2
. 
                                                132

                                 ⎛ ⎛ ax + b ⎞α ⎛ ax + b ⎞ β ⎞
                             ∫ R⎜⎜ x, ⎜⎝ cx + d ⎟⎠ , ⎜⎝ cx + d ⎟⎠ ,...⎟⎟dx ,
                                 ⎝                                     ⎠
где α , β , ... – рациональные числа, a , b , c , d – постоянные действитель-
ные числа, приводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью
                                                 ax + b k
подстановок соответственно ax + b = t k или            =t .
                                                cx + d
                                         1+ 4 x
        Пример 4.9. Вычислить интеграл ∫        dx .
                                         x+ x
                                                                        1 1
       Решение. Здесь показатели степени переменной x равны 1,           , .
                                                                        2 4
Общий знаменатель этих дробей 4, поэтому следует применить замену пе-
ременной x = t 4 , dx = 4t 3 dt , приходим к интегралу от рациональной дроби
          1+ 4 x         1+ t                 t + t2            tdt         t 2 dt
        ∫ x + x dx = ∫ t 4 + t 2 ⋅ 4t dt = 4∫ 1 + t 2 dx = 4∫ 1 + t 2 + 4∫ 1 + t 2 =
                                     3



            4 2tdt       t2 +1−1                                     dt
           = ∫     2
                     + 4∫ 2      dt = 2 ln(1 + t 2 ) + 4 ∫ dt − 4 ∫       =
            2 1+ t         t +1                                     1+ t2
       = 2 ln(1 + t 2 ) + 4t + 4arctg t + C = 2 ln( x + 1) + 44 x − 4arctg4 x + C .
                 t 2 dt
  В интеграле ∫ 2       для выделения целой части неправильной рацио-
                t +1
  нальной дроби прибавили и вычли в числителе 1.
                                                        1     x +1
        Пример 4.10. Вычислить интеграл               ∫ x2      x
                                                                   dx .

                                         1+ x 2
       Решение. Применим подстановку            = t . Выразим отсюда x :
                                           x
     1                                 − 2tdt
x= 2    .Находим дифференциал dx = 2            . Подставляя найденные
   t −1                               (t − 1) 2
выражения в исходный интеграл, получаем ответ
                  1    x +1                         ⎛ − 2tdt ⎞
                ∫ x2        dx = ∫ (t 2 − 1) 2 ⋅ t ⎜⎜ 2        ⎟ = −2 ∫ t 2 dt =
                                                             2 ⎟
                         x                          ⎝ (t − 1) ⎠


                                                                3
                                2          2 ⎛1 + x ⎞
                             = − t3 + C = − ⎜       ⎟ +C.
                                3          3 ⎝ x ⎠

Страницы