Математика. Курзина В.М - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

133
Тригонометрические подстановки
К интегралам от функций, представляющих собой рациональные
зависимости от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
∫
− dxxaxR ),(
22
подстановкой
t
a
x
sin
=
( a – действительное
число);
∫
+ dxxaxR ),(
22
подстановкой
t
a
x
tg
=
;
∫
− dxaxxR ),(
22
подстановкой
t
a
x
cos
= .
Пример 4.11. Вычислить интеграл
∫
−
dx
x
x
6
32
)4(
.
Решение. Этот интеграл вида
∫
− dxxaxR ),(
22
, поэтому применяя
подстановку
t
x
sin2= , td
t
dx cos2= , приходим к интегралу от функции,
рациональной относительно
t
sin и
t
ctg .
=⋅
−
=
−
∫∫
tdt
t
t
dx
x
x
cos2
sin64
)sin44()4(
6
32
6
32
∫∫
= dx
t
t
dt
t
t
2
4
6
4
sin
ctg
4
1
sin
cos
.
В последнем интеграле применим замену
z
t
=
ctg
, тогда dzdt
t
=−
2
sin
1
, и ,
следовательно
C
t
C
z
dzzdx
t
t
+−=+−=−=
∫∫
5
ctg
5
sin
ctg
55
4
2
4
.
Окончательно, подставляя найденные выражения в исходный инте-
грал, получаем, поскольку
2
sin
x
t
= ,
2
4
cos
2
x
t
−
=
, ответ
C
x
x
Ctdx
x
x
+
−
−=+−=
−
∫
5
52
5
6
32
20
)4(
ctg
20
1
)4(
.
Упражнения
Вычислить интегралы:
1.
∫
−−
2
432 xx
dx
. 2.
∫
+
1
3/1
4/1
x
dxx
. 3.
∫
+
2
3
)1( xx
dx
. 4.
∫
+1x
dxx
. 
                                                                 133

                                         Тригонометрические подстановки

        К интегралам от функций, представляющих собой рациональные
   зависимости от тригонометрических функций, сводятся интегралы:

             ∫ R ( x,       a 2 − x 2 )dx подстановкой x = a sin t ( a – действительное
   число);

             ∫ R ( x,       a 2 + x 2 )dx подстановкой x = atg t ;
                                                                            a
             ∫ R ( x,       x 2 − a 2 )dx подстановкой x =                       .
                                                                           cos t
                                                                             (4 − x 2 ) 3
             Пример 4.11. Вычислить интеграл                           ∫        x6
                                                                                            dx .

      Решение. Этот интеграл вида ∫ R ( x, a 2 − x 2 )dx , поэтому применяя
подстановку x = 2 sin t , dx = 2 cos tdt , приходим к интегралу от функции,
рациональной относительно sin t и ctg t .

             (4 − x 2 ) 3                   (4 − 4 sin 2 t ) 3                   cos 4 t     1 ctg 4 t
        ∫                        dx = ∫                          ⋅ 2 cos tdt = ∫         dt = ∫ 2 dx .
                  x6                            64 sin 6 t                       sin 6 t     4 sin t
                                                                                                     1
В последнем интеграле применим замену ctg t = z , тогда −                                                  dt = dz , и ,
                                                                                                   sin 2 t
следовательно
                                   ctg 4t            4       z5       ctg 5t
                                 ∫ sin 2 t dx = − ∫ z dz = − 5 + C = − 5 + C .
            Окончательно, подставляя найденные выражения в исходный инте-
                                                          x           4 − x2
грал, получаем, поскольку sin t =                           , cos t =        , ответ
                                                          2             2
                                 (4 − x 2 ) 3         1   5          (4 − x 2 ) 5
                        ∫           x6
                                                dx = − ctg t + C = −
                                                      20              20 x 5
                                                                                  +C.


                                                      Упражнения

       Вычислить интегралы:

             dx                                   x1/ 4 dx                        dx                            x dx
1. ∫                         .            2.    ∫ x1 / 3 + 1 .      3.     ∫ x(3 x + 1) 2 .            4. ∫            .
       2 − 3x − 4 x     2
                                                                                                                x +1

Страницы