Математика. Курзина В.М - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

135
2
1
2
sin
t
t
x
+
=
;
2
2
1
1
cos
t
t
x
+
−
=
; t
x
arctg
2
= ;
2
1
2
t
dt
dx
+
=
;
сводятся к интегралам от рациональных дробей, порядок действий при
этом лучше проиллюстрировать на конкретных примерах.
Пример 4.12. Найти
∫
x
dx
sin
.
Решение. После универсальной тригонометрической подстановки
t
x
=
2
tg , получаем
C
x
tgCt
t
dt
x
dx
t
t
t
dt
+=+===
∫∫∫
+
+
2
ln||ln
sin
2
2
1
2
1
2
.
Интегралы вида
∫
⋅ dxxxR sin)(cos ,
∫
⋅ dxxxR cos)(sin
Для интеграла
∫
⋅ dxxxR sin)(cos применяется подстановка:
t
x
=
cos ,
d
t
x
dx =− sin , которой он приводится к интегралу от рациональной функ-
ции
∫
dttR )(, а для интеграла
∫
⋅ dxxxR cos)(sin подстановка:
t
x
=
sin ,
d
t
x
dx =cos , которой он приводится к интегралу от рациональной функции
∫
dttR )( .
Пример 4.13. Вычислить интеграл
∫
+
dx
x
x
cos2
sin
3
.
Решение. Этот интеграл легко привести к виду
∫
⋅ dxxxR sin)(cos .
Действительно,
∫∫∫
+
−
=
+
⋅
=
+
xdx
x
x
dx
x
xx
dx
x
x
sin
cos2
cos1
cos2
sinsin
cos2
sin
223
.
Сделаем замену
t
x
=cos , тогда d
t
x
dx
−
=
sin , следовательно
∫∫∫
+
−
=−
+
−
=
+
dt
t
t
dt
t
t
dx
x
x
2
1
)(
2
1
cos2
sin
223
.
Выделив целую часть, т.е. разделив многочлен 1
2
−
t
на 2+
t
, имеем
=
+
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+−=
+
−
∫∫∫∫∫
2
32
2
3
2
2
1
2
t
dt
dttdtdt
t
tdt
t
t
Ctt
t
+++−= |2|ln32
2
2
.
Переходя к переменной
x
, получаем 
                                                  135

                       2t               1− t2 x                   2dt
              sin x =       ;  cos x  =      ;  = arctg t ; dx =       ;
                      1+ t2             1+ t2 2                  1+ t2
 сводятся к интегралам от рациональных дробей, порядок действий при
этом лучше проиллюстрировать на конкретных примерах.
                                dx
       Пример 4.12. Найти ∫         .
                              sin x
       Решение. После универсальной тригонометрической подстановки
  x
tg = t , получаем
  2
                                     2 dt
                            dx      1+t 2  dt                       x
                         ∫ sin x = ∫ 2t = ∫ t = ln | t | +C = ln tg 2 + C .
                                        2
                                     1+t

               Интегралы вида ∫ R(cos x) ⋅ sin x dx , ∫ R(sin x) ⋅ cos x dx

       Для интеграла ∫ R(cos x) ⋅ sin x dx применяется подстановка: cos x = t ,
− sin xdx = dt , которой он приводится к интегралу от рациональной функ-
ции ∫ R (t )dt , а для интеграла ∫ R(sin x) ⋅ cos x dx подстановка: sin x = t ,
cos xdx = dt , которой он приводится к интегралу от рациональной функции
∫ R(t )dt .
                                       sin 3 x
                                    ∫ 2 + cos x dx .
      Пример 4.13. Вычислить интеграл

      Решение. Этот интеграл легко привести к виду                    ∫ R(cos x) ⋅ sin x dx .
Действительно,
                  sin 3 x        sin 2 x ⋅ sin x  1 − cos 2 x
               ∫ 2 + cos x dx = ∫ 2 + cos x dx = ∫ 2 + cos x sin xdx .
       Сделаем замену cos x = t , тогда sin xdx = − dt , следовательно
                           sin 3 x        1− t2             t2 −1
                        ∫ 2 + cos x dx = ∫ 2 + t (−dt ) = ∫ t + 2 dt .
  Выделив целую часть, т.е. разделив многочлен t 2 − 1 на t + 2 , имеем
                t2 −1         ⎛           3 ⎞                             dt
              ∫ t + 2 dt = ∫ ⎜⎝ t − 2 + t + 2 ⎟⎠dt = ∫ tdt − 2∫ dt + 3∫ t + 2 =
                  t2
              =      − 2t + 3 ln | t + 2 | +C .
                  2
  Переходя к переменной x , получаем

Страницы