Математика. Курзина В.М - 136 стр.

                                                 136

                   sin 3 x      cos 2 x
                ∫ 2 + cos x dx = 2 − 2 cos x + 3 ln | cos x + 2 | +C .

                                    Интеграл вида ∫ R ( tgx)dx .

       Интеграл вида         ∫ R( tgx)dx ,   где R( tgx) – рациональная функция от-
носительно tgx , с помощью подстановки tgx = t , приводится к интегралу
от рациональной дроби.
                                                               tgx
       Пример 4.14. Вычислить интеграл                    ∫ 1 − ctg 2 x dx .
                                                           dt                1
Применим подстановку tgx = t , тогда dx =                      2
                                                                 , ctg 2 x = 2 , следовательно
                                                          1+ t              t

                                                           dt
                                   tgx              t⋅                   t 3 dt
                                                         1+ t 2
                             ∫ 1 − ctg 2 x dx = ∫ 1 −       1
                                                                    =∫
                                                                         t4 −1
                                                                                  .
                                                           t2



Применяя подстановку t 4 − 1 = z , dz = 4t 3 dt , имеем
                    t 3 dt        1 dz 1                1
                  ∫ t4 −1     =    ∫  =
                                  4 z 4
                                         ln | z | + C =
                                                        4
                                                          ln | t 4 − 1 | +C .

Возвращаясь к переменной x , окончательно получим
                                   tgx          1
                             ∫ 1 − ctg 2 x dx = 4 ln | tg
                                                                4
                                                                    x − 1 | +C .

                               Интеграл вида ∫ sin m x ⋅ cos n x dx
       Интегралы такого вида можно вычислить, применяя универсальную
тригонометрическую подстановку, но часто вычисления упрощаются при
специальных подстановках. Рассмотрим наиболее характерные случаи и
виды специальных подстановок.
       1) Если хотя бы один из показателей m или n нечетный, то:
           а) если m – нечетное целое положительное число, то удобно
применить специальную подстановку cos x = t ;
          б) если n – нечетное положительное целое число, то удобно
применять специальную подстановку sin x = t .