Математика. Курзина В.М - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

137
Пример 4.15. Вычислить интеграл
∫
dx
x
x
4
3
sin
cos
.
Здесь n – нечетное число, поэтому применяем подстановку
t
x
=sin , тогда d
t
dx
x
=cos . Числитель подынтегральной функции преоб-
разуем, отделив первую степень
x
cos , а в оставшемся выражении выразим
x
cos через
x
sin по формуле
x
x
22
sin1cos
−
=
. Имеем
=
−
=
−
==
∫∫∫∫
4
2
4
2
4
2
4
3
)1(
sin
cos)sin1(
sin
coscos
sin
cos
t
dtt
x
dxxx
x
dxxx
dx
x
x
C
x
x
C
t
t
t
dt
t
dt
++−=++−=−=
∫∫
sin
1
sin3
11
3
1
2224
.
2) Если m и n – четные положительные числа, то применяют фор-
мулы понижения порядка:
xxx 2sin
2
1
cossin = ;
2
2cos1
sin
2
x
x
−
= ;
2
2cos1
cos
2
x
x
+
= ,
либо
x
sin и
x
cos выражают через x
2
tg по формулам
x
x
x
2
2
2
tg1
tg
sin
+
= ;
x
x
2
2
tg1
1
cos
+
=
и применяют подстановку
t
x
=
tg .
Пример 4.16. Вычислить интеграл
∫
xdx
4
cos .
Решение. Здесь 4=n – четное число. Применим формулу пониже-
ния порядка
2
2cos1
cos
2
x
x
+
= :
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
==
∫∫∫
dx
x
dxxxdx
2
224
2
2cos1
)(coscos
∫∫∫∫
++=++= xdxxdxdxdxxx 2cos
4
1
2cos
2
1
4
1
)2cos2cos21(
4
1
22
.
Первый интеграл – табличный. Во втором интеграле сделаем замену
t
x
=2, тогда
2
dt
dx = .
Имеем
11
2sin
2
1
sin
2
1
cos
2
1
2cos CxCttdtxdx +=+==
∫∫
. 
                                                 137

                                        cos 3 x
       Пример 4.15. Вычислить интеграл ∫ 4 dx .
                                        sin x
         Здесь n – нечетное число, поэтому применяем подстановку
sin x = t , тогда cos x dx = dt . Числитель подынтегральной функции преоб-
разуем, отделив первую степень cos x , а в оставшемся выражении выразим
cos x через sin x по формуле cos 2 x = 1 − sin 2 x . Имеем
        cos 3 x       cos 2 x cos x dx     (1 − sin 2 x) cos x dx    (1 − t 2 )dt
      ∫ sin 4 x dx = ∫ sin 4 x         = ∫         sin 4 x
                                                                  = ∫ t4 =
           dt    dt    1 1           1     1
      =∫     4
               −∫ 2 =− 2 + +C =−       2
                                         +     +C.
           t     t    3t  t      3 sin x sin x
      2) Если m и n – четные положительные числа, то применяют фор-
мулы понижения порядка:
                             1                    1 − cos 2 x             1 + cos 2 x
                sin x cos x = sin 2 x ; sin 2 x =             ; cos 2 x =             ,
                             2                         2                       2
либо sin x и cos x выражают через tg 2 x по формулам

                                  2      tg 2 x         2         1
                               sin x =            ; cos   x =
                                       1 + tg 2 x             1 + tg 2 x
и применяют подстановку tg x = t .

       Пример 4.16. Вычислить интеграл ∫ cos 4 xdx .
      Решение. Здесь n = 4 – четное число. Применим формулу пониже-
                      1 + cos 2 x
ния порядка cos 2 x =             :
                           2
                                                                    2
                                                  ⎛ 1 + cos 2 x ⎞
                    ∫ cos xdx = ∫ (cos x) dx = ∫ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ dx =
                          4              2   2



          1                                  1      1             1
      =     ∫ (1 + 2 cos 2 x + cos 2 2 x)dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ cos 2 2 xdx .
          4                                  4      2             4
         Первый интеграл – табличный. Во втором интеграле сделаем замену
                    dt
2 x = t , тогда dx = .
                    2
                              1            1            1
     Имеем ∫ cos 2 xdx =        ∫ cos tdt = sin t + C1 = sin 2 x + C1 .
                              2            2            2

Страницы