Математика. Курзина В.М - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

138
В третьем интеграле еще раз применим формулу понижения поряд-
ка
2
4cos1
2cos
2
x
x
+
= . Тогда получаем
∫∫∫∫
+=+= xdxdxdxxxdx 4cos
2
1
2
1
)4cos1(
2
1
2cos
2
.
В последнем интеграле сделаем замену
t
x
=
4, тогда d
t
dx =4 и, сле-
довательно,
2
2
4sin
8
1
2
1
4
cos
2
1
2
1
2cos Cxx
dt
tdxxdx ++=⋅+=
∫∫∫
.
Окончательно получим:
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⋅+=
∫
Cxxxxxdx 4sin
8
1
2
1
4
1
2sin
2
1
2
1
4
1
cos
4
Cxxx +++= 4sin
32
1
2sin
4
1
8
3
.
Интегралы вида
∫
nxdxmxcossin ,
∫
nxdxmxcoscos ,
∫
nxdxmxsinsin
Для преобразования подынтегральных выражений применяют фор-
мулы тригонометрии:
)]sin()[sin(
2
1
cossin
βαβαβα
−++= ;
)]cos()[cos(
2
1
coscos
βαβαβα
−++=
;
)]cos()[cos(
2
1
sinsin
βαβαβα
+−−= .
Пример 4.17. Вычислить интеграл
∫
xdxx 7cos3sin .
Решение. Применим формулу
]4sin10[sin
2
1
)]4sin(10[sin
2
1
7cos3sin xxxxxx −=−+= .
Получаем
Cxxxdxxdxxdxx ++−=−=
∫∫∫
4cos
8
1
10cos
20
1
4sin
2
1
10sin
2
1
7cos3sin . 
                                                    138

        В третьем интеграле еще раз применим формулу понижения поряд-
               1 + cos 4 x
ка cos 2 2 x =             . Тогда получаем
                    2
                      2             1                    1      1
              ∫ cos       2 xdx =
                                    2
                                      ∫ (1 + cos 4 x)dx = ∫ dx + ∫ cos 4 xdx .
                                                         2      2
     В последнем интеграле сделаем замену 4 x = t , тогда 4dx = dt и, сле-
довательно,
                                     1       1         dt 1  1
               ∫ cos
                       2
                           2 xdx =
                                     2
                                       ∫ dx + ∫ cos t ⋅ = x + sin 4 x + C 2 .
                                             2         4 2   8
     Окончательно получим:
                                        1    1 1         1⎛1   1        ⎞
                  ∫ cos
                            4
                                xdx =     x + ⋅ sin 2 x + ⎜ x + sin 4 x ⎟ + C =
                                        4    2 2         4⎝ 2  8        ⎠
                   3   1         1
                  = x + sin 2 x + sin 4 x + C .
                   8   4         32


        Интегралы вида ∫ sin mx cos nxdx , ∫ cos mx cos nxdx , ∫ sin mxsin nxdx
      Для преобразования подынтегральных выражений применяют фор-
мулы тригонометрии:
                                             1
                                sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] ;
                                             2
                                             1
                                cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α − β )] ;
                                             2
                                             1
                                sin α sin β = [cos(α − β ) − cos(α + β )] .
                                             2


       Пример 4.17. Вычислить интеграл ∫ sin 3 x cos 7 xdx .
       Решение. Применим формулу
                                 1                        1
                sin 3 x cos 7 x = [sin 10 x + sin(−4 x)] = [sin 10 x − sin 4 x] .
                                 2                        2
Получаем
                                1               1                1               1
      ∫ sin 3x cos 7 xdx = 2 ∫ sin 10 xdx − 2 ∫ sin 4 xdx = − 20 cos10 x + 8 cos 4 x + C .

Страницы