Математика. Курзина В.М - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

140
∫
∑
=∆
=
→∆
∞→
b
a
n
k
kk
x
n
dxxfxf
i
)()(lim
1
0||max
ξ
,
если он не зависит от способа разбиения отрезка
];[ ba на частичные
промежутки и от выбора точек
k
ξ
в каждом частичном промежутке.
При этом обозначают через a , b – соответственно нижний и верх-
ний пределы интегрирования, )(
x
f
– подынтегральную функцию,
dx
x
f
)( – подынтегральное выражение, dx указывает на переменную ин-
тегрирования.
Простейшие свойства определенного интеграла
1.
∫∫
−=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(.
2.
0)( =
∫
a
a
dxxf .
3.
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(.
4.
∫∫∫∫
−+=−+
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfxfxf )()()()]()()([
321321
.
5.
∫∫
=
b
a
b
a
dxxfCdxxCf )()( .
Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти со-
ответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона–
Лейбница:
b
a
b
a
xFaFbFdxxf )()()()( =−=
∫
.
Пример 4.18. Вычислить интеграл
∫
+
4
0
4
)1( dxe
x
.
Применяя формулу Ньютона–Лейбница и свойства определенного
интеграла, получим:
eeexdxedxdxe
xxx
44404|41)1(
4
0
4
4
0
4
0
4
4
0
4
0
4
=−+−=+=+=+
∫∫∫
. 
                                                                        140

                                                              n                        b
                                                    lim
                                                  n →∞
                                                              ∑       f (ξ k )∆xk = ∫ f ( x)dx ,
                                                            k =1                       a
                                                max|∆xi |→0

если он не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные
промежутки и от выбора точек ξ k в каждом частичном промежутке.
        При этом обозначают через a , b – соответственно нижний и верх-
ний пределы интегрирования, f (x) – подынтегральную функцию,
 f ( x)dx – подынтегральное выражение, dx указывает на переменную ин-
тегрирования.
                         Простейшие свойства определенного интеграла
              b                     a
     1.       ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx .
              a                     b
                  a
     2.           ∫ f ( x)dx = 0 .
                  a
                  b                 c                     b
     3.           ∫   f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .
                  a                 a                     c
                  b                                                    b                   b              b
     4.           ∫ [ f1 ( x ) +   f 2 ( x) − f 3 ( x)]dx = ∫ f1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x)dx − ∫ f 3 ( x)dx .
                  a                                                    a                   a              a
                  b                         b
     5.           ∫ Cf ( x)dx = C ∫ f ( x)dx .
                  a                         a

      Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти со-
ответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона–
Лейбница:
                                                b
                                                                                                     b
                                                ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) = F ( x) a .
                                                a

     Пример 4.18. Вычислить интеграл
                                                                  4         x

                                                                  ∫ (1 +    4
                                                                           e )dx .
                                                                  0

   Применяя формулу Ньютона–Лейбница и свойства определенного
интеграла, получим:
          4              x              4           4     x                       x
                                                                       4
       ∫ (1 +          e 4 )dx     = ∫1dx + ∫           e 4 dx   =    x0   +   4e 4 |04 =      4 − 0 + 4e − 4 = 4e .
          0                             0           0

Страницы