ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
142
∫
−
+
3
1
22
3
4
1
dx
xx
x
.
Введём новую переменную интегрирования:
t
x
sin2= , тогда
td
t
dx cos2= . Полагая 1=
x
, получаем
6
π
=t – нижний предел после за-
мены. Аналогично при
3=x находим
3
π
=t – верхний предел. Тогда
=+=
+
=
−
+
∫∫∫∫
3/
6/
2
3/
6/
3/
6/
2
3
3
1
22
3
sin
4
1
sin2
sin4
1sin8
4
1
π
π
π
π
π
π
t
dt
tdtdt
t
t
dx
xx
x
1
32
7
3
3
3
4
1
2
3
2
1
2ctg
4
1
cos2
3/
6/
3/
6/
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=−−=
π
π
π
π
tt .
Упражнения
Найти интегралы:
1.
∫
−
e
xx
dx
1
2
1ln
. 2.
∫
−
5,0ln
0
2
1 dxe
x
. 3.
∫
+
4
0
2
1
dx
x
x
. 4.
∫
−
−
2
1
2
1
23
dx
x
x
.
5.
∫
+
4
1
)1(xx
dx
. 6.
∫
5,1
1
tg xdx
π
. 7.
∫
π
4/
0
2
2
cos dx
x
. 8.
∫
−
5,0
0
2
1 dxx .
9.
∫
+
2
1
2
7xx
dx
. 10. .
3
0
2
/1
∫
dx
x
e
x
11.
∫
−
1
0
12
dxex
x
. 12.
∫
+
2
0
4
1
dx
x
x
.
13.
∫
+
1
0
2
1
dx
x
arctgx
. 14.
∫
−
1
0
12
dxex
x
. 15. .
2ln
1
0
2
∫
dx
x
x
16. .2cos2sin
8/
0
3
∫
π
xdxx
17.
∫
−
−
1
1
45
dx
x
x
. 18.
∫
−
5,0
0
2
1 dxx
. 19.
∫
−
2ln
0
1dxe
x
. 20.
∫
−
5
0
22
25 dxxx .
21.
.
)1(
arcsin
1
0
∫
−
dx
xx
x
22.
.)
1
1(
2
5,0
1
∫
+
++ dxe
x
x
x
x
23.
.1
3
0
3
2
∫
− dxxx
24.
.ln
1
21
∫
−
e
xdxx
142
3
x3 + 1
∫ dx .
1 x2 4 − x2
Введём новую переменную интегрирования: x = 2 sin t , тогда
π
dx = 2 cos tdt . Полагая x = 1 , получаем t = – нижний предел после за-
6
π
мены. Аналогично при x = 3 находим t = – верхний предел. Тогда
3
π /3 π /3
3
x3 + 1 8 sin 3 t + 1 1 π / 3 dt
∫ dx = ∫ 2
dt = 2 ∫ sin tdt + ∫
4 π / 6 sin 2 t
=
1 x2 4 − x2 π / 6 4 sin t π /6
π /3 1 π /3 ⎛1 3⎞ 1⎛ 3 ⎞ 7
= − 2 cos t π / 6 − ctg t π / 6 = −2⎜⎜ − ⎟− ⎜
⎟ 4⎜ 3 − 3 ⎟=
⎟ 2 3 − 1.
4 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠
Упражнения
Найти интегралы:
e ln 0 , 5
dx 4
x 2
3 − 2x
1. ∫ . 2. ∫ 1 − e dx .
2x
3. ∫ dx . 4. ∫x dx .
1 x ln 2 x − 1 0 0 x +1
2
1
2
−1
1, 5 π/4
4
dx x 0,5
∫ tgπxdx .
2
5. ∫ x( x + 1)
. 6. 7. ∫ cos dx .
2
8. ∫ 1 − x 2 dx .
1 1 0 0
2 3 2
dx e1 / x 1
x
9. ∫ 2 . 10. ∫ 2 dx. 11. ∫ x e dx .
2 x −1
12. ∫0 x 4 + 1 dx .
1 x + 7x 0
x 0
1 1 π /8
arctgx 1
ln 2 2 x
13. ∫ dx . 14. ∫ x 2 e x −1 dx . 15. ∫ dx. 16. ∫ sin 2 x cos
3
2 xdx.
0
1+ x 2
0 0
x 0
1 0,5 ln 2 5
x
∫ ∫ 20. ∫ x 2 25 − x 2 dx .
2
∫ 1 − x dx . e − 1dx .
x
17. dx . 18. 19.
−1 5 − 4x 0 0 0
1 2 1 3 e
arcsin x 1 x+ x
21. ∫
0 x (1 − x )
dx. 22. ∫0,5 (1 + x +
x
)e dx. 23. ∫ x3 1 − x 2 dx. 24. ∫ x −1 ln 2 xdx.
0 1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- …
- следующая ›
- последняя »
