Математика. Курзина В.М - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

143
25.
.
1
arcsin
2
0
∫
+
dx
x
x
26. .3sin2sinsin
2/
0
∫
π
xdxxx 27. .1
9
1
3
∫
− dxxx 28. .
1
1
1
1
4
2
∫
−
+
+
dx
x
x
29.
.
1)1(
75,0
0
2
∫
++ xx
dx
30. .
)1(2
2arccos
1
0
∫
+
dx
xx
x
31. .9)7(
2
1
3
2
∫
−
−+ dxxx
4.9. Интегрирование по частям определенных интегралов
Формула интегрирования по частям для определённого интеграла
имеет вид:
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
.
Пример 4.20. Вычислить интеграл
∫
−
3/
3/
2
cos
sin
π
π
dx
x
xx
.
Подынтегральная функция
x
xx
2
cos
sin
– четная, поэтому
∫∫
=
−
3/
0
2
3/
3/
2
cos
sin
2
cos
sin
ππ
π
dx
x
xx
dx
x
xx
.
Пусть
x
u = ,
x
xdx
dv
2
cos
sin
= ; тогда
dxdu
=
;
x
v
cos
1
= . Следовательно,
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=−=
∫∫
3/
0
3/
0
3/
0
3/
0
2
42
tgln
3/cos3coscos
cos
sin
π
π
π
π
π
π
π
x
x
dx
x
x
dx
x
xx
12
5
tgln
3
2
4
tgln
46
tgln
3
2
ππππππ
−=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−= .
Окончательно получаем
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∫
−
12
5
tgln
3
2
2
cos
sin
3/
3/
2
ππ
π
π
dx
x
xx
. 
                                                                             143

      2                                  π /2                                              9                    1
               x                                                                                                   1 + x2
25. ∫ arcsin       dx. 26.                   ∫ sin x sin 2 x sin 3xdx. 27. ∫ x 1 − xdx. 28.    3
                                                                                                                ∫−11 + x 4 dx.
    0
             1 + x                           0                                             1


      0 , 75                                                1                                       2
                        dx                             arccos 2 x
29.    ∫  0    ( x + 1) x + 12
                                 .               30. ∫
                                                     0   2 x (1 + x )
                                                                      dx.                      31. ∫ ( x + 7)3 9 − x 2 dx.
                                                                                                   −1




                     4.9. Интегрирование по частям определенных интегралов

     Формула интегрирования по частям для определённого интеграла
имеет вид:
                                                        b                          b
                                                                             b
                                                        ∫ udv = uv a − ∫ vdu .
                                                        a                          a

                Пример 4.20. Вычислить интеграл
                                                                      π /3
                                                                            x sin x
                                                                       ∫    cos 2
                                                                                  x
                                                                                    dx .
                                                                     −π / 3

                                                                    x sin x
              Подынтегральная функция                                       – четная, поэтому
                                                                    cos 2 x
                                                   π /3                 π /3
                                                          x sin x            x sin x
                                                     ∫        2
                                                                  dx = 2 ∫ cos 2 x dx .
                                                   −π / 3 cos x          0

                                     sin xdx                         1
  Пусть u = x , dv =                     2
                                             ; тогда du = dx ; v =       . Следовательно,
                                     cos x                         cos x


                π /3                             π /3       π /3                                               π /3
                       x sin x        x                               dx       π              ⎛x π ⎞
                 ∫     cos 2 x
                               dx =
                                    cos x 0
                                                        −       ∫         =
                                                                     cos x 3 cos π / 3
                                                                                       − ln tg⎜ + ⎟
                                                                                              ⎝2 4⎠0
                                                                                                                      =
                 0                                              0




                       2π        ⎛π π ⎞       π 2π         5π
                  =       − ln tg⎜ + ⎟ + ln tg =   − ln tg    .
                        3        ⎝ 6 4 ⎠      4  3         12


  Окончательно получаем
                                        π /3
                                               x sin x       ⎛ 2π        5π ⎞
                                         ∫         2
                                                       dx = 2⎜
                                                             ⎝ 3
                                                                  − ln tg ⎟ .
                                                                         12 ⎠
                                        −π / 3 cos x

Страницы