ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
141
Упражнения
1. dxx
∫
−
1
0
)1( . 2.
∫
−
4,
0
1 dxx . 3.
∫
2
1
e
x
dx
. 4.
∫
4/
0
sin
π
xdx .
5.
∫
++
6
0
2
)23( dxxx . 6.
∫
−
2
1
2
1
1
dx
x
7.
∫
4
1
3
x
dx
. 8.
∫
+
5,0ln
0
)1( dxe
x
.
9.
∫
+
3
0
)1( dxx . 10.
∫
π
0
2
cos dx
x
. 11.
∫
2
1
2 dx
x
. 12.
∫
3
1
2
dxe
x
.
13.
∫
+
1
0
2
5
1
dx
x
. 14.
∫
−
5
1
2
4
1
dx
x
. 15.
∫
1
0
4
dxx . 16.
∫
π
0
4
sin
dx
x
.
17.
∫
+
2
0
2
4
1
dx
x
. 18.
∫
−
5
4
2
3xx
dx
. 19.
∫
−
2
0
2
16
1
dx
x
. 20.
∫
−
2
0
2
25
1
dx
x
.
21.
∫
8
1
7
x
dx
. 22.
∫
2
0
11 dx
x
. 23.
∫
−
3
2
3
x
dx
. 24.
∫
π
5,0
0
4
3
cos
dx
x
. 25.
∫
−
+
2
1
6
)1( xx
dx
.
26.
.
8
sin
0
∫
π
dx
x
27.
∫
1
0
3
dxe
x
. 28.
∫
−
10
3
2
121
1
dx
x
. 29. .
3
4
dx
x
x
e
e
∫
+
30.
∫
π
0
16
5
sin
dx
x
.
4.8. Замена переменной в определенном интеграле
Если определенный интеграл
∫
b
a
dxxf )( преобразуется при помощи
формулы )(
t
x
ϕ
= или )(
x
t
ψ
= в другой интеграл, то пределы интеграла
a и b заменяются новыми пределами
α
и
β
, которые определяются из
уравнений )(
α
ϕ
=a , )(
β
ϕ
=b (или )(a
ψ
α
=
, )(b
ψ
β
=
).
Если )(
t
ϕ
′
и ))((
t
f
ϕ
непрерывны на отрезке ],[
β
α
, то
∫∫
′
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxf
b
a
)())(()( .
Пример 4.19. Вычислить интеграл
141
Упражнения
e2 π /4
1 ,4
dx
1. ∫ ( x − 1)dx . 2. ∫ 1 − x dx . 3. ∫ . 4. ∫ sin xdx .
0 0 1
x 0
6 2
1 dx
4 ln 0 , 5
∫ (x + 3 x + 2)dx . ∫ 7. ∫ 3 . ∫ (1 + e
2
5. 6. dx 8. x
)dx .
0 1 x2 −1 1 x 0
3 π 2
x 3
9. ∫ ( x + 1)dx . 10. ∫ cos dx . 11. x
∫ 2 dx . 12. ∫ e 2 x dx .
0 0 2 1 1
1 5 1 π
1 1 x
13. ∫ dx . 14. ∫ 2 dx . 15. 4
∫ x dx . 16. ∫ sin 4 dx .
0 5 + x2 1 x − 4 0 0
5 2 2
2
1 dx 1 1
17. ∫
0 4 + x2
dx . 18. ∫ 2
4 x − 3x
. 19. ∫ 16 − x 2
dx . 20. ∫ 25 − x 2
dx .
0 0
8 2 3 0 , 5π 2
dx dx 3x dx
21. ∫ 7 . 22. ∫11 dx . x
23. ∫ −3 . 24. ∫ cos dx . 25. ∫1 ( x + 1) x −6 .
1
x 0 2
x 0
4
π 1 10 4e π
x 1 x+3 5x
26. ∫ sin dx. 27. ∫ e 3 x dx . 28. ∫ dx . 29. ∫ dx. 30. ∫ sin dx .
0
8 0 3 121 − x 2 e
x 0
16
4.8. Замена переменной в определенном интеграле
b
Если определенный интеграл ∫ f ( x)dx преобразуется при помощи
a
формулы x = ϕ (t ) или t = ψ ( x) в другой интеграл, то пределы интеграла
a и b заменяются новыми пределами α и β , которые определяются из
уравнений a = ϕ (α ) , b = ϕ ( β ) (или α = ψ (a ) , β = ψ (b) ).
Если ϕ ′(t ) и f (ϕ (t )) непрерывны на отрезке [α , β ] , то
b β
∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt .
a α
Пример 4.19. Вычислить интеграл
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- …
- следующая ›
- последняя »
