Математика. Курзина В.М - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

145
Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми )(
1
xfy = и
)(
2
xfy = , причем )()(
21
xfxf ≤ и двумя вертикальными прямыми a
x
=
и b
x
= , вычисляется с помощью интеграла
∫
−=
b
a
dxxfxfS ))()((
12
.
Пример 4.21. Вычислить площадь
S
, ограниченную синусоидой
x
y sin= и осью O
X
, при
π
20
≤
≤
x
y
x
y sin=
0
π
π
2
x
Так как 0sin ≥
x
при
π
≤≤
x
0 и 0sin
≤
x
при
π
π
2
≤
≤
x
, то
∫∫∫
=+=
ππ
π
π
2
0
2
0
|sin|sinsin dxxxdxxdxS ;
2)11()0cos(coscossin
0
0
=−−−=−−=−=
∫
π
π
π
xxdx ;
2)cos2(coscossin
2
2
−=−−=−=
∫
ππ
π
π
π
π
xxdx .
Следовательно,
4|2|2
=
−
+
=
S
.
Если кривая )(
x
f
y = на отрезке ];[ ba – гладкая (т.е. производная
)(xfy
′
=
′
– непрерывна), то длину соответствующей дуги этой кривой
вычисляют по формуле
∫
′
+=
b
a
dxyl
2
)(1 .
Пример 4.22. Найти длину дуги кривой
32
xy =
от точки с абсцис-
сой 0=
x
до точки с абсциссой 1
=
x
. 
                                                    145

       Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y = f1 ( x) и
y = f 2 ( x) , причем f1 ( x) ≤ f 2 ( x) и двумя вертикальными прямыми x = a
и x = b , вычисляется с помощью интеграла
                                        b
                                 S = ∫ ( f 2 ( x) − f1 ( x))dx .
                                        a

      Пример 4.21. Вычислить площадь S , ограниченную синусоидой
y = sin x и осью OX , при 0 ≤ x ≤ 2π



       y
                          y = sin x


       0              π                         2π               x



Так как sin x ≥ 0 при 0 ≤ x ≤ π и sin x ≤ 0 при π ≤ x ≤ 2π , то
                          π              2π               2π
                     S = ∫ sin xdx +        ∫ sin xdx = ∫ | sin x | dx ;
                          0                 π             0

            π
                                 π
            ∫ sin xdx = − cos x 0     = −(cos π − cos 0) = −(−1 − 1) = 2 ;
            0
                2π
                                        2π
                 ∫ sin xdx = − cos x π          = −(cos 2π − cos π ) = −2 .
                 π

Следовательно,
                                     S = 2+ | −2 |= 4 .
        Если кривая y = f (x) на отрезке [a; b] – гладкая (т.е. производная
y ′ = f ′( x) – непрерывна), то длину соответствующей дуги этой кривой
вычисляют по формуле
                                                b
                                       l = ∫ 1 + ( y ′) 2 dx .
                                                a

      Пример 4.22. Найти длину дуги кривой y 2 = x 3 от точки с абсцис-
сой x = 0 до точки с абсциссой x = 1 .

Страницы