Математика. Курзина В.М - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

146
Находим производную функции
2
1
2
3
xy =
′
. Тогда длина дуги
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=+=
∫
113
8
13
27
8
4
13
27
8
4
9
1
3
2
9
4
4
9
1
2
3
1
0
2
3
1
0
xdxxl .
Если тело образуется при вращении вокруг оси O
X
криволиней-
ной трапеции, ограниченной кривой )(
x
f
y
=
, осью O
X
и прямыми
a
x
= и b
x
= , то объём такого тела вычисляется по формуле
∫∫
==
b
a
b
a
x
dxxfdxyV
22
))((
ππ
.
Если фигура, ограниченная кривыми )(
11
xfy
=
и )(
22
xfy = , при-
чем
)()(
21
xfxf ≤ и прямыми a
x
=
и b
x
=
вращается вокруг оси O
X
, то
объём тела вращения равен
∫
−=
b
a
x
dxyyV )(
2
1
2
2
π
.
Если тело образуется при вращении вокруг оси O
Y
криволиней-
ной трапеции, ограниченной кривой )( y
f
x
=
, осью O
Y
и прямыми
cy = и dy = , то объём тела вращения вычисляется по формуле
∫∫
==
d
c
d
c
y
dyyfdyxV
22
))((
ππ
.
Пример 4.23. Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси O
X
фигуры, ограниченной кривой
32
)1( −= xy
и прямой 2=
x
.
Находим объем тела вращения
ππππ
4
1
4
)1(
)1(
2
1
4
2
1
3
2
1
2
=
−
=−==
∫∫
x
dxxdxyV
x
.
Упражнения
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1.
1,)1(
22
+=+= xyxy . 2. 4,12
22
+−=+= xyxy .
3. xyxxy 2,3
3
=−= . 4. .0,2,5
22
==+−= xxyxy 
                                                      146

                                                               1
                                    3
   Находим производную функции y ′ = x 2 . Тогда длина дуги
                                    2
                                                   3 1                  3
               1
                      9      4 2⎛ 9               ⎞2           8 ⎛ 13 ⎞ 2 8 ⎛ 13       ⎞
           l=∫     1 + x dx = ⋅ ⎜1 + x ⎟                      = ⎜ ⎟ − ⎜          13 − 1⎟ .
               0      4      9 3⎝ 4 ⎠                          27 ⎝ 4 ⎠   27 ⎝ 8       ⎠
                                                          0

         Если тело образуется при вращении вокруг оси OX криволиней-
   ной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) , осью OX и прямыми
   x = a и x = b , то объём такого тела вычисляется по формуле
                                              b                    b
                                     Vx = π ∫ y dx = π ∫ ( f ( x)) 2 dx .
                                                  2

                                              a                    a

        Если фигура, ограниченная кривыми y1 = f1 ( x) и y 2 = f 2 ( x) , при-
   чем f1 ( x) ≤ f 2 ( x) и прямыми x = a и x = b вращается вокруг оси OX , то
   объём тела вращения равен
                                                      b
                                          Vx = π ∫ ( y 22 − y12 )dx .
                                                      a

         Если тело образуется при вращении вокруг оси OY криволиней-
   ной трапеции, ограниченной кривой x = f ( y ) , осью OY и прямыми
   y = c и y = d , то объём тела вращения вычисляется по формуле
                                              d                    d
                                     V y = π ∫ x dy = π ∫ ( f ( y )) 2 dy .
                                                  2

                                              c                    c

        Пример 4.23. Найти объем тела, образованного вращением вокруг
   оси OX фигуры, ограниченной кривой y 2 = ( x − 1) 3 и прямой x = 2 .
         Находим объем тела вращения
                                                                             2
                             2            2
                                                          ( x − 1) 4              1
                      Vx = π ∫ y dx = π ∫ ( x − 1) dx = π
                                2                 3
                                                                                 = π.
                             1          1                     4              1
                                                                                  4
                                        Упражнения

       Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. y = ( x + 1) 2 ,   y 2 = x + 1.                            2. y = 2 x + 1,    y2 = −x2 + 4 .

3. y = 3 x 3 − x,      y = 2x .                               4. y 2 = − x 2 + 5,   y = 2 x , x = 0.

Страницы