Математика. Курзина В.М - 148 стр.

                                             148

                   5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

     Дифференциальным уравнением называют уравнение, связывающее
независимую переменную x , неизвестную функцию y = ϕ (x) и ее произ-
водные y ′, y ′′, y ′′′, K
     Символическая запись дифференциального уравнения

                                  F ( x, y, y ′, y ′′,K) = 0 .

        Если неизвестная функция зависит от одного аргумента, дифферен-
циальное уравнение называют обыкновенным дифференциальным урав-
нением.
        Порядком дифференциального уравнения называют порядок стар-
шей производной, участвующей в уравнении.
        Уравнение y ′y − 2 sin y 2 = y ln x – уравнение первого порядка, а урав-
нение 4 y ′′ + y ′′′( y ′′) 4 + y sin x = y 6 ⋅ 5 2 x – уравнение третьего порядка.
        Множество, на котором дифференциальное уравнение определено,
называется областью существования уравнения.
        Решением дифференциального уравнения называют функцию
 y = ϕ (x) , при подстановке которой в уравнение оно становится тождест-
вом в области существования. Решение дифференциального уравнения на-
зывают также его интегралом.
        Пример 5.1. Для уравнения 2 y ′ − 5 y = −3e x функция y = e x является
решением.
        Решение. Действительно, подставив ее в уравнение, так как y ′ = e x ,
получают тождество для x ∈ (−∞; ∞) :
                                         2e x − 5e x = −3e x ,
        Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

                                      F ( x, y, y ′) = 0 .

Если удается в уравнении первого порядка выразить явным образом про-
изводную y ′ через y и x , то полученное уравнение называется дифферен-
циальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно
производной, и записывается в виде

                                   y ′ = f ( x, y ) .

     Дифференциальное уравнение может иметь бесчисленное множество
решений. При решении конкретной задачи обычно интересуются единст-