Математика. Курзина В.М - 149 стр.

                                          149

венным видом функциональной зависимости, удовлетворяющей диффе-
ренциальному уравнению, и реже – всей совокупностью таких зависимо-
стей. Выбрать единственное решение задачи позволяет начальное условие:
это пара чисел, задающих значение неизвестной функции y при указанном
значении её аргумента x0 . Записывают начальное условие в виде

                                              ⎧ x = x0
           y ( x0 ) = y0 или y x = x = y0 или ⎨         .
                                    0
                                              ⎩ y = y 0


     Общим решением дифференциального уравнения первого порядка
называют функцию, которая удовлетворяет уравнению и имеет вид

                                     y = ϕ ( x, C ) ,

где C – произвольная постоянная.
      Теорема (о существовании и единственности частного решения).
      Если в дифференциальном уравнении первого порядка y ′ = f ( x, y )
                                            ∂f
функция f ( x, y ) и ее частная производная       непрерывны в некоторой
                                            ∂y
области D на плоскости XOY , содержащей точку ( x0 , y0 ) , то существует
единственное решение этого уравнения y = ϕ ( x) , удовлетворяющее усло-
вию y ( x0 ) = y0 .
      Частным решением называется любая функция y = ϕ ( x, C0 ) , кото-
рая получается из общего решения y = ϕ ( x, C ) , если в нём произвольной
постоянной C придать определенное значение C = C0 .
                                      y
      Пример 5.2. Для уравнения y ′ = общим решением будет множест-
                                      x
во функций y = Cx (убедиться можно подстановкой этих функций в урав-
нение).
      Решение. Для начального условия y (4) = 1 значение C0 находят, под-
ставляя начальное условие в общее решение: 1 = C ⋅ 4 ⇒ C = 0,25 . Тогда
функция y = 0,25 x является частным решением уравнения, соответствую-
щим приведённому начальному условию.
      Если в результате решения дифференциального уравнения искомая
функция не выражена явно через аргумент, то задающее её уравнение

                                     Φ ( x, y ) = 0

называют интегралом дифференциального уравнения.