Математика. Курзина В.М - 151 стр.

                                               151

в котором правая часть представляет произведение двух функций: одна из
них f1 ( x) зависит только от переменной x , а другая f 2 ( y ) – только от y ,
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися перемен-
ными.
      Дифференциальное уравнение типа

                                   F1 ( x)dx + F2 ( y )dy = 0

называют уравнением с разделёнными переменными.
     Общим интегралом этого уравнения является равенство

                                 ∫ F1 ( x)dx + ∫ F2 ( y )dy = 0 .
                                dx
      Пример 5.3. Дано уравнение   − y −2 dy = 0 , которое является урав-
                                 x
нением с разделенными переменными.
     Решение. Находим общий интеграл этого уравнения

                       dx
                      ∫ x + ∫ y dy = 0 или ln | x | − y = C .
                               −2                      −1




Последнее равенство можно также записать в виде                     x = e C +1 / y .
     Дифференциальное уравнение типа

                          M 1 ( x) N1 ( y )dx + M 2 ( x) N 2 ( y )dy = 0 ,

где множителями при dx и dy являются произведения двух функций, каж-
дая из которых зависит только от переменной x либо только от перемен-
ной y , также называют уравнением с разделяющимися переменными.
      Это уравнение можно привести к уравнению с разделенными пере-
менными. Для этого его левую и правую части делят на произведение
функций M 2 ( x) N1 ( y ) (предполагая, что M 2 ( x) N1 ( y ) ≠ 0 ).

                                 M 1 ( x)     N ( y)
                                          dx + 2       dy = 0 .
                                 M 2 ( x)     N1 ( y )

      Пример 5.4. Решить уравнение
                          (1 + x 2 ) ydx + (1 + y 2 ) xdy = 0 .