Математика. Курзина В.М - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

153
19.
.0)
4
(,0
sin1
2cos1
==
+
+
+
′
π
y
y
x
y 20.
0)0(,)9)(4(
22
=−−=
′
yxyy
.
21. .0)1()1(
624
=+++ dxyxdyyx 22.
0)()( =++− dyyxydxxxy
.
23.
.)81)(64(
22
xyy −−=
′
24. .1)0(),3sin()3sin(
=
+
=
−
+
′
yyxyxy
25. .04ln
=+
′
xyx 26. .ctgctg yd
x
x
d
y
=
27. ).2cos()2cos( yxyxy
+
=
−
+
′
28.
.
1
23
134
4
2
2
y
x
y
xx
y
′
+
+
=
++
+
29. .0)41(sin4 =−+ dyydx
xx
30. .tgtg yxy =
′
5.2. Однородные дифференциальные уравнения
Функцию ),( y
x
f
называют однородной функцией n-ой степени от-
носительно переменных
x
и y , если для любого числа 0≠
λ
справедливо
тождество
),(),(
yxfyxf
n
λ=λλ .
При этом
n не обязательно является целым.
Пример 5.5. Определить степень однородности функции
xy
yx
yxf
33
),(
+
=
.
Решение. В соответствии с определением однородной функции ар-
гументы
x
и y заменим соответственно на
x
λ
и y
λ
. Приходим к выраже-
нию
),(
)(
)(
))((
)()(
),(
1
33
2
33333
yxf
xy
yx
xy
yx
yx
yx
yxf
λλ
λ
λ
λλ
λλ
λλ
=
+
=
+
=
+
= ,
из чего следует, что функция
yx
yx
yxf
2
33
),(
+
=
является однородной перво-
го измерения. 
                                                     153

              1 + cos 2 x         π
19. y ′ +                 = 0, y ( ) = 0.             20. y ′ = (4 − y 2 )(9 − x 2 ) , y (0) = 0 .
               1 + sin y          4

21. ( x 4 + 1) y 2 dy + x( y 6 + 1)dx = 0.         22. ( xy − x )dx + ( xy +           y )dy = 0 .

23. y ′ = (64 − y 2 )(81 − x 2 ) .             24. y′ + sin( x − 3 y ) = sin( x + 3 y ), y (0) = 1.

25. xy ′ + ln 4 x = 0.       26. ctgxdy = ctgydx.         27. y ′ + cos(2 x − y ) = cos(2 x + y ).

            4 + y2           3y + 2
28.                      =          y ′. 29. 4 x sinydx + (1 − 4 x )dy = 0. 30. y ′tgx = tgy.
       x 2 + 4 x + 13         x +1



                     5.2. Однородные дифференциальные уравнения

     Функцию f ( x, y ) называют однородной функцией n-ой степени от-
носительно переменных x и y , если для любого числа λ ≠ 0 справедливо
тождество
                              f (λx, λy ) = λn f ( x, y ) .

При этом n не обязательно является целым.
     Пример 5.5. Определить степень однородности функции

                                                          x3 + y 3
                                             f ( x, y ) =          .
                                                             xy

     Решение. В соответствии с определением однородной функции ар-
гументы x и y заменим соответственно на λx и λy . Приходим к выраже-
нию
                      (λx) 3 + (λy ) 3 λ3 ( x 3 + y 3 )    x3 + y3
      f (λ x, λ y ) =                 =                 =λ         = λ1 f ( x, y ) ,
                        (λx)(λy )         λ ( xy )
                                            2
                                                              xy

                                          x3 + y 3
из чего следует, что функция f ( x, y ) =          является однородной перво-
                                            x2 y
го измерения.

Страницы