Математика. Курзина В.М - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

155
∫∫
=
+
−
−
+
x
dx
du
uu
u
12
1
2
.
Вычислив интегралы, находим общий интеграл уравнения с разде-
ляющимися переменными
Cxuu +=+−−− ln12ln
2
1
2
.
Используя свойства логарифмов, получаем общий интеграл уравнения в
следующем виде
,12
2
x
C
uu =+−−
заменив в котором переменную u на
x
y
, записываем общий интеграл ис-
ходного однородного уравнения первого порядка
x
C
x
y
x
y
=+−− 1
2
2
2
или после преобразований
Cxxyy =+−−
22
2
.
Заменив произвольную постоянную
2
C на
*
C , окончательно имеем
*22
2 Cxxyy =+−− .
Упражнения
1. .sinsin x
y
x
y
y
x
yx −=
′
2. .)2(
22
yxyxyxy
′
+=+ 3. .lnln x
x
y
y
x
y
yx +=
′
4. .2
22
xyyxy =−
′
5. .tg
x
y
xyyx =−
′
6. .cos
x
y
x
y
y +=
′
7.
.4
2
2
x
y
x
y
y +=−
′
8. .)(
22
xydydxyx =+ 9.
.
yx
yx
y
−
+
=
′
10.
.yxeyx
x
y
+=
′
11. .arctg)( x
x
y
yyx =−
′
12. ).(2 xyyyx −=
′
                                                  155


                                        1+ u                dx
                                  ∫ − u 2 − 2u + 1 du = ∫    x
                                                               .


    Вычислив интегралы, находим общий интеграл уравнения с разде-
ляющимися переменными

                                1
                               − ln − u 2 − 2u + 1 = ln x + C .
                                2

Используя свойства логарифмов, получаем общий интеграл уравнения в
следующем виде
                                           C
                           − u 2 − 2u + 1 = ,
                                           x
                                      y
заменив в котором переменную u на , записываем общий интеграл ис-
                                      x
ходного однородного уравнения первого порядка

                                       y2 2y       C
                                      − 2 −   +1 =
                                       x    x      x

или после преобразований

                                     − y 2 − 2 xy + x 2 = C .

Заменив произвольную постоянную C 2 на C * , окончательно имеем

                                    − y 2 − 2 xy + x 2 = C * .


                                            Упражнения
              x        x                                                        y       y
1. xy ′ sin     = y sin − x.       2. xy + y 2 = (2 x 2 + xy ) y ′.   3. xy ′ ln  = y ln + x.
              y        y                                                        x       x
                                                    y                             y y
4. xyy ′ − y 2 = 2 x 2 .           5. xy ′ − y = xtg .                6. y ′ = cos + .
                                                    x                             x x
        y     y2                                                               x+ y
7. y ′ − = 4 + 2 .                 8. ( x 2 + y 2 )dx = xydy.         9. y ′ =      .
        x     x                                                                x− y
                y
                                                       y
10. xy ′ = xe + y.
                x
                               11. ( xy ′ − y )arctg     = x.         12. xy ′ = 2( y − xy ).
                                                       x

Страницы