Математика. Курзина В.М - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

156
13. .0)1(,0)(4)6(
224224
==++++ ydyyxxydxyyxx
14.
.
3
sin3
3
sin3 dydy
y
x
xdx
y
x
y −=
5.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида
)()(
21
xfxfy
dx
dy
+⋅= ,
линейное относительно неизвестной функции y и ее производной
dx
dy
, на-
зывают
линейным уравнением первого порядка.
Линейные уравнения первого порядка решают предполагая, что
)()()(
x
v
x
u
x
y = , следовательно
vuvuy
′
+
′
=
′
, и заменяя в уравнении y и
dx
dy
соответственно на
v
u ⋅ и vuvu
′
+
′
.
Общее решение уравнения
(
)
Cdxexfexvxuy
dxxfdxxf
+==
∫
∫∫
− )(
2
)(
11
)()()(.
Пример 5.7. Найти частное решение дифференциального уравнения
1
1
++=
′
xy
x
y , удовлетворяющее начальному условию 2)1( =y .
Решение. После замены )()()(
x
v
x
u
x
y
=
, vuvuy
′
+
′
=
′
имеем
1
1
++=
′
+
′
x
x
uvvuvu ,
или
1
1
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅−
′
+
′
x
x
uuvvu
. (*)
Выражение в скобках приравниваем нулю
0
1
=−
x
u
dx
du
или
x
u
dx
du
1
= .
Это уравнение с разделяющимися переменными, интегрируем его 
                                                                 156


13. ( x 4 + 6 x 2 y 2 + y 4 )dx + 4 xy ( x 2 + y 2 )dy = 0, y (1) = 0.

              3x             3x
14. 3 y sin      dx = 3 x sin dy − dy.
               y              y

        5.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

        Уравнение вида
                                           dy
                                              = y ⋅ f1 ( x ) + f 2 ( x ) ,
                                           dx
                                                                                                         dy
линейное относительно неизвестной функции y и ее производной                                                , на-
                                                                                                         dx
зывают линейным уравнением первого порядка.
         Линейные уравнения первого порядка решают предполагая, что
                                                                                   dy
 y ( x) = u ( x)v( x) , следовательно y ′ = u ′v + uv′ , и заменяя в уравнении y и
                                                                                   dx
соответственно на u ⋅ v и u ′v + uv′ .
         Общее решение уравнения

                      y = u ( x )v ( x ) = e ∫
                                                 f1 ( x ) dx
                                                               (∫ f ( x)e
                                                                  2
                                                                            − ∫ f1 ( x ) dx
                                                                                                    )
                                                                                              dx + C .

        Пример 5.7. Найти частное решение дифференциального уравнения
       1
y′ =     y + x + 1 , удовлетворяющее начальному условию y (1) = 2 .
       x
         Решение. После замены y ( x) = u ( x)v( x) , y ′ = u ′v + uv′ имеем

                                                     1
                                      u ′v + uv′ = uv + x + 1 ,
                                                     x
или
                                               ⎛          1⎞
                                      uv ′ + v ⎜ u ′ − u ⋅ ⎟ = x + 1 .                                       (*)
                                               ⎝          x⎠

Выражение в скобках приравниваем нулю

                                  du    1        du   1
                                     − u = 0 или    =u .
                                  dx    x        dx   x

        Это уравнение с разделяющимися переменными, интегрируем его

Страницы