Математика. Курзина В.М - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

154
Можно убедиться, что функция
yx
yx
yxf
2
33
),(
+
=
является однород-
ной нулевого измерения.
Уравнение вида
),( yxf
dx
dy
=
называется
однородным уравнением первого порядка, если стоящая в пра-
вой его части функция ),( y
x
f
является однородной функцией нулевого
измерения относительно
x
и y .
Существенно отметить, что приведенное в определении уравнение
разрешено относительно производной
dx
dy
неизвестной функции.
Для отыскания решения однородного уравнения применяют замену:
u
x
y
= , или uxy = , где u есть некоторая функция от
x
.
Пример 5.6. Решить дифференциальное уравнение
yx
yx
dx
dy
+
−
=
.
Решение. Убедимся, что это однородное дифференциальное уравне-
ние первого порядка
yx
yx
yx
yx
yx
yx
+
−
λ=
+λ
−
λ
=
λ+λ
λ−λ
0
)(
)(
.
Полагая
x
x
uy ⋅= )(,
dx
du
xu
dx
dy
+= , приходим к уравнению
u
u
ux
ux
uxx
uxx
dx
du
xu
+
−
=
+
−
=
+
−
=+
1
1
)1(
)1(
,
являющемуся уравнением с разделяющимися переменными, которое мож-
но представить в виде:
u
uuu
u
u
u
dx
du
x
+
−−−
=−
+
−
=
1
1
1
1
2
,
После умножения уравнения на dx , и разделения переменных полу-
чаем равенство двух интегралов 
                                            154

                                               x3 + y 3
     Можно убедиться, что функция f ( x, y ) =          является однород-
                                                 x2 y
ной нулевого измерения.
     Уравнение вида
                              dy
                                 = f ( x, y )
                              dx

называется однородным уравнением первого порядка, если стоящая в пра-
вой его части функция f ( x, y ) является однородной функцией нулевого
измерения относительно x и y .
       Существенно отметить, что приведенное в определении уравнение
                                          dy
разрешено относительно производной           неизвестной функции.
                                          dx
       Для отыскания решения однородного уравнения применяют замену:
 y
   = u , или y = ux , где u есть некоторая функция от x .
 x
       Пример 5.6. Решить дифференциальное уравнение

                                        dy x − y
                                          =      .
                                        dx x + y

      Решение. Убедимся, что это однородное дифференциальное уравне-
ние первого порядка

                          λx − λy λ ( x − y )       x− y
                                  =            = λ0      .
                          λx + λ y λ ( x + y )      x+ y

                                dy        du
     Полагая y = u ( x) ⋅ x ,      = u + x , приходим к уравнению
                                dx        dx

                                du x − ux x(1 − u ) 1 − u
                       u+x        =      =         =      ,
                                dx x + ux x(1 + u ) 1 + u

являющемуся уравнением с разделяющимися переменными, которое мож-
но представить в виде:
                         du 1 − u      1 − u − u − u2
                       x   =      −u =                ,
                         dx 1 + u           1+ u

      После умножения уравнения на dx , и разделения переменных полу-
чаем равенство двух интегралов

Страницы